Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Капельян Пособие для подготовки к ЦТ 2011 => Тема начата: alsak от 29 Октябрь 2013, 15:02

Название: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: alsak от 29 Октябрь 2013, 15:02
Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малышонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.

8. Закон сохранения энергии

Тест А1
1 2 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10872.msg42066.html#msg42066) 3 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10872.msg42082.html#msg42082) 4 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10872.msg42083.html#msg42083) 5 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10872.msg42084.html#msg42084) 6 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10872.msg42085.html#msg42085) 7 8 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10872.msg42086.html#msg42086) 9 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10705.msg39844.html#msg39844) 10

Тест А2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Тест В1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,10855.msg40862.html#msg40862)

Тест В2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Евгений Пархоменко от 15 Июль 2014, 16:40
                                                                                        § 8 Тест   A1
2. Пружина детского пистолета жесткостью k  = 10 Н/см имеет длину l0  = 15 cм. Шарик массой m = 10 г. Выпущенный из пистолета вертикально вверх, если его пружина сжата на l = 50 мм, взлетит на высоту:
1) 10 м;    2) 25 м;    3) 50 м;    4) 100 м;    5) 200 м.
Запишем формулу для потенциальной энергии и потенциальной энергии упруго деформированного тела:
\[\begin{align}
  & {{E}_{p}}=m\cdot g\cdot h\,\,(1), \\
 & {{E}_{p}}=\frac{k\cdot \Delta {{l}^{2}}}{2}\,\,(2). \\
\end{align}\]
Из формулы (1) выразим h:
\[\begin{align}
h=\frac{{{E}_{p}}}{m\cdot g}\,\,(3).
\end{align}\]
В (3) подставим (2) и произведем расчеты.
Ответ: h = 50 м.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Евгений Пархоменко от 30 Июль 2014, 19:29
№3
Потенциальная энергия тела массой m  = 200 г, брошено вертикально вверх со скоростью, модуль которой υ0  = 30 м/с   через время t = 2,0 с после бросания равна:
     1)12 Дж;    2) 22 Дж;   3) 68 Дж;    4) 80 Дж;    5) 90 Дж.
Запишем формулу  для потенциальной энергии и формулу для определения высоты:
\[\begin{align}
  & {{E}_{p}}=m\cdot g\cdot h\,\,(1), \\
 & h={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(2). \\
\end{align}\]
Так как тело брошено вверх, скорость убывает по закону:
\begin{align}
  & \upsilon \,\,={{\upsilon }_{0}}-gt\,\,\,(3). \\
 & {{E}_{p}}=m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot g\cdot t-\frac{m\cdot {{g}^{2}}\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,(4). \\
\end{align}
Произведем расчеты по формуле (4).   
Ответ :  Ep  = 80 Дж.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Евгений Пархоменко от 30 Июль 2014, 19:30
 №4
Тело массой m = 1,0 кг брошено с вышки в горизонтальном направлении со скоростью, модуль которой  υ = 20 м/с, и через время t = 6,0 c упало на землю. Кинетическая энергия тела в момент удара тела о землю будет равна:
1)1,0 кДж;    2) 1,4 кДж;   3) 2,0 кДж;    4)  2,8 кДж;    5) 4,0 кДж.
\begin{align}
  & {{E}_{k}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\,\,(1). \\
 & \upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}\,\,(2). \\
\end{align}
\begin{align}
\upsilon {}_{x}={{\upsilon }_{0}}\,\,(3),\,\,{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0y}}+g\cdot t\,\,(4),\,\,{{\upsilon }_{0y}}=0\,\,(5),\,\,{{\upsilon }_{y}}=g\cdot t\,\,(6).
\end{align}
Из (2) получим:
\begin{align}
\upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+{{g}^{2}}\cdot {{t}^{2}}}\,\,(7).
\end{align}
Подставим (6) в (1):
\[{{E}_{k}}=\frac{m}{2}\cdot \left( \upsilon _{0}^{2}+{{g}^{2}}\cdot {{t}^{2}} \right)\,\, (8 )\]
Произведем расчеты по формуле (8 ) .
Ответ: Ek  = 2 кДж.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Евгений Пархоменко от 30 Июль 2014, 19:32
№5
Кинетическая энергия системы в начальном состоянии равна нулю. Если при переводе механической системы в конечное состояние, внешними силами совершена работа А = 11 Дж, а потенциальная энергия уменьшилась на ΔW = 3,0 Дж, то ее кинетическая энергия в конечном состоянии составляет:
1)3,0 Дж;   2)8 Дж;   3) 11 Дж;   4) 14 Дж;   5) 33 Дж.
Начальное состояние:
\begin{align}
  & {{E}_{k1}}=0\,\,(1), \\
 & {{E}_{p1}}=x\,\,(2). \\
\end{align}
Конечное состояние:                                                 
\begin{align}
  & {{E}_{k2}}=y\,\,(3), \\
 & ~{{E}_{p2}}=x-3\,\,(4). \\
\end{align}
\begin{align}
  & {{E}_{k1}}+{{E}_{p1}}+A={{E}_{k2}}+{{E}_{p2}}. \\
 & x+11=x-3+y. \\
 & y=14. \\
\end{align}
Ответ: 14 Дж.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Евгений Пархоменко от 30 Июль 2014, 19:34
№6
На некоторой высоте модуль скорости планера υ1  = 10 м/с. При снижении планера на высоту Δh = 40 м, модуль скорости составит:
1)90 м/с;   2) 25м/с;   3) 30м/с;   4) 45 м/с;   5) 60 м/с.
Запишем закон сохранения энергии:
\[\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+m\cdot g\cdot {{h}_{1}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}+m\cdot g\cdot {{h}_{2}}\,\,(1).\]
Из (1) получим:
\[\begin{align}
{{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+2\cdot g\cdot \Delta h}\,\,(2).
\end{align}\]
Произведем расчеты по формуле (2).
Ответ: υ2 = 30 м/с.

Ответ: υ2 = 30 м/с.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Евгений Пархоменко от 30 Июль 2014, 19:35
№ 8
На тело массой m = 1,0 кг, в течении времени t = 2,0 c действует сила, модуль которой равен F = 1 Н. Если начальная кинетическая энергия тела  равна нулю, то конечная кинетическая энергия составит:
1)1,0 Дж;   2) 1,4 Дж;    3) 2,0 Дж;   4) 4,0 Дж;   5) 8 Дж.
\begin{align}
  & F=m\cdot a\,\,(1). \\
 & a=\frac{\upsilon -{{\upsilon }_{0}}}{\Delta t}\,\,(2). \\
\end{align}
Подставим (1) в (2):
\begin{align}
m\cdot \upsilon -m\cdot {{\upsilon }_{0}}=F\cdot \Delta t\,\,(3).
\end{align}
Из (3) выразим υ:
\[\upsilon \,\,=\frac{F\cdot \Delta t}{m}\,\,(4).\]
Запишем формулу для определения кинетической энергии:
\begin{align}
{{E}_{k}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\,\,(5).
\end{align}
Произведем расчеты по формуле (5) с учетом формулы (4).
Ответ: Ek  = 2 Дж.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 31 Декабрь 2015, 12:39
Тест А 1. 7. Тело массой m = 1,0 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью, модуль которой υ0 = 20 м/с, достигло верхней точки траектории за время t = 1,9 с. Работа силы тяжести при этом составит:
1) 95 Дж; 2) -95 Дж; 3) -0,19 кДж; 4) 0,19 Дж; 5) -0,20 кДж.
Решение.
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии взятой с противоположным знаком.
\[ \begin{align}
  & A=-(m\cdot g\cdot {{h}_{2}}-m\cdot g\cdot {{h}_{1}}),\ {{h}_{1}}=0,\ {{h}_{2}}=\frac{\upsilon +{{\upsilon }_{0}}}{2}\cdot t,\ \upsilon =0, \\
 & A=-m\cdot g\cdot \frac{{{\upsilon }_{0}}}{2}\cdot t.\ A=-1,0\cdot 10\cdot \frac{20}{2}\cdot 1,9=-190. \\
\end{align} \]
Ответ: 3) -0,19 кДж.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 31 Декабрь 2015, 12:44
Тест А 1. 10.  Два одинаковых шарика движутся навстречу друг другу со скоростями, модули которых υ1 = 5,0 м/с и  υ2 = 7,0 м/с соответственно.
После абсолютно упругого лобового удара изменение модуля скорости первого шарика составит:
1) 0; 2) 2,0 м/с; 3) 4,0 м/с; 4) 5,0 м/с; 5) 10 м/с.
Определим скорость первого шарика. Запишем закон сохранения импульса для абсолютно упругого удара и закон сохранения энергии.
\[ \begin{align}
  & {{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}+{{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}={{m}_{2}}\cdot {{{\vec{u}}}_{2}}+{{m}_{1}}\cdot {{{\vec{u}}}_{1}}.\ Ox:\ {{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=-{{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}+{{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}, \\
 & {{m}_{1}}={{m}_{2}},\ {{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}}=-{{u}_{2}}+{{u}_{1}}\ \ \ (1), \\
 & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}=\frac{{{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot u_{2}^{2}}{2},\ \upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]
Решим систему уравнений (1) и (2).
\[ \begin{align}
  & \ {{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}}=-{{u}_{2}}+{{u}_{1}},\ \ \ 2=-{{u}_{2}}+{{u}_{1}}, \\
 & \ \upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2};\ \ \ \ 74=u_{1}^{2}+u_{2}^{2};\  \\
\end{align} \]
u1 = 7,0 м/с.
∆υ = 2,0 м/с.
Ответ: 2) 2,0 м/с.


Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 02 Январь 2016, 11:17
Тест А 2. 1. Пружину жесткостью k = 200 Н/м, предварительно сжатую на ∆l1 = 1 см, сжимают еще на ∆l2 = 1 см. Работа, совершенная при дополнительном сжатии равна:
1) 0,01 Дж; 2) 0,02 Дж; 3) 0,03 Дж; 4) 0,04 Дж; 5) 0,05 Дж.
Работу силы упругости по сжиманию пружины определим по формуле:
\[ \begin{align}
  & A=-(\frac{k\cdot l_{2}^{2}}{2}-\frac{k\cdot \Delta l_{1}^{2}}{2}),\ {{l}_{2}}=\Delta {{l}_{1}}+\Delta {{l}_{2}},\ A=-(\frac{k\cdot {{(\Delta {{l}_{1}}+\Delta {{l}_{2}})}^{2}}}{2}-\frac{k\cdot \Delta l_{1}^{2}}{2}). \\
 & A=-(\frac{200\cdot {{(1,0\cdot {{10}^{-2}}+1,0\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{2}-\frac{200\cdot {{(1,0\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{2})=-3,0\cdot {{10}^{-2}}. \\
\end{align} \]
Работа внешней силы по дополнительному сжатии пружины равна:
Авн = -Аупр.
Авн = 0,03 Дж.
Ответ: 3) 0,03 Дж.


Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 02 Январь 2016, 11:19
Тест А 2. 2. Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на ∆l = 10 см. Если жесткость шнура k = 1,0 кН/м, а масса камня m = 20 г, то модуль скорости камня составит:
1) 45 м/с; 2) 14 м/с; 3) 38 м/с; 4) 22 м/с; 5) 11 м/с.
Решение. Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия упруго деформированного шнура перейдет в кинетическую энергию камня.
\[ \frac{k\cdot \Delta {{l}^{2}}}{2}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ \upsilon =\Delta l\cdot \sqrt{\frac{k}{m}},\ \upsilon =0,1\cdot \sqrt{\frac{1000}{0,02}}=22,3. \]
Ответ: 4) 22 м/с.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 02 Январь 2016, 11:21
Тест А 2. 3. Если потерями механической энергии при ударе и сопротивлением воздуха пренебречь, то модуль начальной скорости, с которым необходимо бросить мяч с высоты h, чтобы он подпрыгнул на высоту 2∙h, составляет:
1) √(g∙h)/2;  2) 2∙√(g∙h); 3) √(2∙g∙h);  4) √(g∙h); 5) √(g∙h)/2.
Решение. Запишем закон сохранения энергии. В момент бросания тело имело кинетическую и потенциальную энергию, когда тело подпрыгнуло на высоту 2∙h, оно имело только потенциальную энергию.
\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=m\cdot g\cdot 2\cdot h,\ \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=m\cdot g\cdot h,\ \upsilon _{0}^{2}=\frac{2\cdot m\cdot g\cdot h}{m}, \\
 & \upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot h}. \\
\end{align}
 \]
Ответ: 3) √(2∙g∙h).
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 02 Январь 2016, 11:23
Тест А 2. 4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью, модуль которой υ0 = 16 м/с. Кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии на высоте:
1) 4,2 м; 2) 6,5 м; 3) 8,0 м; 4) 13 м; 5) I6 м.
Решение. Запишем закон сохранения энергии. В момент бросания тело имело только кинетическую энергию, на некоторой высоте тело имело кинетическую и потенциальную энергию, причем на этой высоте кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии.
\[ \begin{align}
  & \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ \frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=m\cdot g\cdot h,\ \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=2\cdot m\cdot g\cdot h, \\
 & h=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2\cdot 2\cdot m\cdot g},\ h=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{4\cdot g}.\ h=\frac{16\cdot 16}{4\cdot 10}=6,4. \\
\end{align} \]
Ответ: 2) 6,5 м.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 02 Январь 2016, 11:25
Тест А 2. 5.Тело брошено с поверхности земли со скоростью, модуль которой υ0 = 8,0 м/с, под углом α = 60° к горизонту. Модуль скорости тела на высоте h = 2,0 м составит:
1) 25 м/с: 2) 22 м/с; 3) 20 м/с; 4) 5,0 м/с; 5) 2,2 м/с.
Решение.  Запишем закон сохранения энергии.
\[ \begin{align}
  & \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}=m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ \frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}-m\cdot g\cdot h,\ \frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2}-g\cdot h, \\
 & {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h,\ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h}.\ {{\upsilon }_{0}}=\sqrt{{{8,0}^{2}}-2\cdot 10\cdot 2,0}=4,89. \\
\end{align} \]
Ответ: 4) 5,0 м/с.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 02 Январь 2016, 19:40
Тест А 2. 6. Тело соскальзывает с горки высотой h = 200 см с углом наклона α = 30,0° и движется до остановки по горизонтальной поверхности Если коэффициент трения на всем пути μ = 0,100, то путь, пройденный телом во время движения, составит:
1) 8,00 м; 2) 16,2 м; 3) 20,5 м; 4) 24,4 м; 5) 32,0 м.
Решение.
Покажем рисунок.
 При наличии сопротивления закон сохранения энергии в замкнутой системе не соблюдается. Полная начальная энергия тела равна потенциальной энергии в точке А, полная конечная энергия в точке С равна нулю. Вся механическая энергия перейдет во внутреннюю энергию.
ЕА + А1 + А2 = 0   (1).
А1 – работа силы трения на участке АВ, А2 – работа силы трения на участке ВС.
ЕА = m∙g∙h   (2), А1 = FT1∙l1∙соsβ1    (3), А2 = FT2∙l2∙соsβ2    (4),
β1 = β2 = 180°, соs180° = -1 .
Определим работу силы трения на участке АВ. Запишем второй закон Ньютона, найдем проекции на ось Оу, найдем силу трения на участке АВ.
\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{1}},\ {{{\vec{F}}}_{Tp1}}+{{{\vec{N}}}_{1}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{1}}, \\
 & oY:\ {{N}_{1}}-m\cdot g\cdot \cos \alpha =0,\ {{N}_{1}}=m\cdot g\cdot \cos \alpha ,\  \\
 & {{F}_{Tp1}}=\mu \cdot {{N}_{1}},\ {{F}_{Tp1}}=\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha \ \ \ (5),\ {{l}_{1}}=\frac{h}{\sin \alpha }, \\
 & {{A}_{1}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha \cdot \frac{h}{\sin \alpha },\ {{A}_{1}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot h\cdot ctg\alpha \ \ \ (6). \\
\end{align} \]
Определим работу силы трения на участке ВС. Запишем второй закон Ньютона, найдем проекции на ось Оу, найдем силу трения на участке ВС.
\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ {{{\vec{F}}}_{Tp2}}+{{{\vec{N}}}_{2}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{2}}, \\
 & oY:\ {{N}_{2}}-m\cdot g=0,\ {{N}_{2}}=m\cdot g,\ {{F}_{Tp2}}=\mu \cdot {{N}_{2}},\ {{F}_{Tp2}}=\mu \cdot m\cdot g\ \ \ (7),\  \\
 & {{A}_{2}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot {{l}_{2}}\ \ \ (8). \\
\end{align}
 \]
(6) (8 ) и (2) подставим в (1) определим путь l2 от основания горы пройденный санками до остановки, и определим весь путь пройденный телом.
\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot h-\mu \cdot m\cdot g\cdot h\cdot ctg\alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot {{l}_{2}}=0,\ \ h-\mu \cdot h\cdot ctg\alpha =\mu \cdot {{l}_{2}},\ {{l}_{2}}=\frac{h-\mu \cdot h\cdot ctg\alpha }{\mu }. \\
 & {{l}_{1}}=\frac{h}{\sin \alpha }.\ {{l}_{1}}=\frac{2\cdot 2}{1}=4,0. \\
 & l1=\frac{2-0,1\cdot 2,0\cdot \sqrt{3}}{0,1}=16,54. \\
 & l={{l}_{1}}+{{l}_{2}}.\ l=4,0+16,54=20,54. \\
\end{align} \]
Ответ: 3) 20,5 м.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 03 Январь 2016, 21:17
Тест А 2.7. Камень массой m = 5,0 кг упал без начальной скорости с некоторой высоты за время t = 2,0 с. Кинетическая энергия камня в средней точке пути равна:
1) 0,10 кДж; 2) 0,25 кДж; 3) 0,50 кДж; 4) 0,75 кДж; 5) 1,0 кДж.
Решение. Определим высоту с которой упал камень.
\[ h=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},\ h=\frac{10\cdot {{2,0}^{2}}}{2}=20. \]
Запишем закон сохранения энергии.
\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot h=m\cdot g\cdot \frac{1}{2}\cdot h+{{E}_{K}},\ {{E}_{K}}=m\cdot g\cdot h-m\cdot g\cdot \frac{1}{2}\cdot h,\ {{E}_{K}}=m\cdot g\cdot \frac{1}{2}\cdot h. \\
 & {{E}_{K}}=5,0\cdot 10\cdot \frac{1}{2}\cdot 20=500. \\
\end{align} \]
Ответ: 3) 0,5 кДж.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 03 Январь 2016, 21:19
Тест А 2.8. Тело движется горизонтально. Если модуль изменения импульса тела η = 50,0 % от начального модуля импульса, то отношение модуля изменения его кинетической энергии к начальной кинетической энергии составит:
1) 125 %; 2) 100%; 3) 50,0 %; 4) 25,0%; 5) 10,0 %.
Решение.
Установим связь кинетической энергии и импульса.
\[ \begin{align}
  & {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ p=m\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{p}{m},\ {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{p}^{2}}}{2\cdot {{m}^{2}}},\ {{E}_{K}}=\frac{{{p}^{2}}}{2\cdot m}. \\
 & \Delta p={{p}_{2}}-{{p}_{1}},\ 0,5\cdot {{p}_{1}}={{p}_{2}}-{{p}_{1}},\ {{p}_{2}}=1,5\cdot {{p}_{1}}. \\
 & \Delta {{E}_{K}}={{E}_{K2}}-{{E}_{K1}}. \\
 & \frac{\Delta {{E}_{K}}}{{{E}_{K1}}}=\frac{{{E}_{K2}}-{{E}_{K1}}}{{{E}_{K1}}}=\frac{\frac{p_{2}^{2}}{2\cdot m}-\frac{p_{1}^{2}}{2\cdot m}}{\frac{p_{1}^{2}}{2\cdot m}}=\frac{p_{2}^{2}-p_{1}^{2}}{p_{1}^{2}}=\frac{{{(1,5\cdot {{p}_{1}})}^{2}}-p_{1}^{2}}{p_{1}^{2}}=\frac{{{(1,5)}^{2}}-{{1}^{2}}}{{{1}^{2}}}=1,25. \\
\end{align} \]
Ответ 1) 125 %.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 03 Январь 2016, 21:22
Тест А 2.9. Два шара массами m1 = 1,0 кг и m2 = 3,0 кг движутся навстречу друг другу со скоростями, модули которых υ1 = 4,0 м/с и υ2 = 8,0 м/с соответственно. Количество теплоты, выделившееся после абсолютно неупругого столкновения шаров, составит:
1) 10 Дж; 2) 18 Дж; 3) 27 Дж; 4) З6 Дж; 5) 54 Дж.
Решение.
Удар, при котором тела движутся после столкновения вместе, с одинаковой скоростью, называется абсолютно неупругим ударом (при этом механическая энергия не сохраняется).
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.
\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \]
Находим проекции на ось Ох и найдем скорость совместного движения тел.
\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon . \\
 & \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})},\ \upsilon =\frac{1,0\cdot 4,0-3,0\cdot 8,0}{1,0+3,0}=-5,0. \\
\end{align} \]
При абсолютно неупругом ударе часть энергии тратится на нагревание тел.
\[  \begin{align}
  & \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}=\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+Q,\ Q=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}-\frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}. \\
 & Q=\frac{1,0\cdot {{4,0}^{2}}}{2}+\frac{3,0\cdot {{8,0}^{2}}}{2}-\frac{(1,0+3,0)\cdot {{(-5,0)}^{2}}}{2}=8,0+96-50=54. \\
\end{align} \]
Ответ: 5) 54 Дж.
Название: Re: 8. Закон сохранения энергии
Отправлено: Сергей от 03 Январь 2016, 21:24
Тест А 2.10. Два одинаковых шара, один из которых неподвижен, а другой движется с постоянной скоростью, упруго сталкиваются и разлетаются. Угол между векторами скоростей шаров после удара составит:
1) 30°; 2) 45°; 3) 90°; 4)180°;5) 0.
Решение. При абсолютно упругом ударе энергия тел до взаимодействия равна энергии тел после взаимодействия.
\[ \frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}+\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{2}^{2}+\upsilon _{1}^{2}\ \ \ (1). \]
Для скоростей тел применима теорема Пифагора. Угол между векторами скоростей шаров после удара составит 90°.
Ответ: 3) 90°.