Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е.

[alsak]

344. Открытую с обеих сторон узкую цилиндрическую трубку длиной l = 80 см до половины погружают вертикально в ртуть. Затем закрывают верхнее отверстие в трубке и вынимают ее из ртути. При этом в трубке остается столбик ртути высотой h = 22 см. Чему равно атмосферное давление? Плотность ртути ρ = 13,6⋅10³ кг/м³.

Решение. На столбик ртуть высотой h в нижней точке трубки, которую вынули из сосуда с ртутью, действуют сила давления воздуха в трубке (F_v), сила давления столбика ртути (F_p) и сила атмосферного давления (F_a). Так как ртуть не выливается, то

F_a = F_v + F_p,

где F_a = p_a⋅S, p_a — атмосферное давление, S — площадь поперечного сечения трубки, F_v = p_v⋅S, p_v — давление воздуха в трубке, Fp = pp⋅S, p_p = ρ⋅g⋅h —давление столбика ртути. Тогда

p_a⋅S = p_v⋅S + ρ⋅g⋅h⋅S или p_a = p_v + ρ⋅g⋅h. (1)

Найдем давление воздуха в трубке. Будем считать, что температура в трубке не изменяется, поэтому запишем для воздуха в трубке для первого случая (трубка открыта и вставлена в сосуд с ртутью) и для второго (трубку закрыли и вынули из сосуда с ртутью)  уравнение  изотермического процесса:

p₁⋅V₁ = p₂⋅V₂,

где p₁ = p_a — давление воздуха в первом случае, V₁ = S⋅l₁, l₁ = l/2 (трубка до половины погружена в ртуть), p₂ = p_v, V₂ = S⋅l₂, l₂ = l – h. Тогда
 

\[ p_{a} \cdot S\cdot \frac{l}{2} = p_{v} \cdot S\cdot \left(l-h\right), \; \; \; p_{v} =\frac{p_{a} \cdot l}{2\cdot \left(l-h\right)}.\;\;\; (2) \]

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 

\[ p_{a} =\frac{p_{a} \cdot l}{2\cdot \left(l-h\right)} +\rho \cdot g\cdot h, \; \; \; p_{a} \cdot \frac{l-2h}{2\cdot \left(l-h\right)} =\rho \cdot g\cdot h, \; \; \; p_{a} =\frac{2\rho \cdot g\cdot h}{l-2h} \cdot \left(l-h\right), \]

р_a = 9,6⋅10⁴ Па.

Примечание. В задаче необходимо указать, что температура в трубке не изменяется. Иначе не хватает данных для решения.

[alsak]

345. Цилиндрическая трубка с запаянным верхним концом опускается вертикально в ртуть так, что запаянный конец совпадает с поверхностью ртути в сосуде. При этом высота воздушного столба в трубке равна h. Определить длину трубки. Атмосферное давление равно p_a, плотность ртути ρ. Температуру считать постоянной.

Решение. В трубке в точке на границе воздух-ртуть действуют сила давления воздуха в трубке (F_v), сила давления ртути на глубине h (F_p) и сила атмосферного давления (это давление передается через ртуть) (F_a). Так как ртуть не движется, то

F_v = F_p + F_a,

где F_a = p_a⋅S, p_a — атмосферное давление, S — площадь поперечного сечения трубки, F_v = p_v⋅S, p_v — давление воздуха в трубке, F_p = p_p⋅S, p_p = ρ⋅g⋅h —давление ртути на глубине h. Тогда

p_v⋅S = ρ⋅g⋅h⋅S + p_a⋅S или p_v = ρ⋅g⋅h + p_a. (1)

По условию температура в трубке не изменяется, поэтому запишем для воздуха в трубке для первого случая (трубка в воздухе) и для второго (трубку вставили в сосуд с ртутью) уравнение  изотермического процесса:

p₁⋅V₁ = p₂⋅V₂,

где p₁ = p_a — давление воздуха в первом случае, V₁ = S⋅l₁, l₁ = l (воздух заполняет всю трубку), p₂ = p_v, V₂ = S⋅l₂, l₂ = h. Тогда

p_a⋅S⋅l = p_v⋅S⋅h, p_a⋅l = p_v⋅h. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 

\[ l=\frac{p_{v} \cdot h}{p_{a} } =\frac{\left(\rho \cdot g\cdot h+p_{a} \right)\cdot h}{p_{a} } =\frac{\rho \cdot g\cdot h^{2} }{p_{a} } +h. \]

[alsak]

347. Снаряд массой m = 8,0 кг вылетает из ствола орудия со скоростью υ = 700 м/с. Определить давление пороховых газов во время выстрела, считая движение снаряда внутри ствола равноускоренным. Сила сопротивления движению снаряда F_c = 16,2 кН, длина нарезной части ствола l = 3,0 м, диаметр d = 77 мм.

Решение. На снаряд действуют сила давления пороховых газов (F_d) и сила сопротивления движению снаряда (F_c) (рис. 1). Эти силы во много раз больше остальных сил (силы тяжести, силы реакции опоры), которыми мы пренебрегаем. Запишем проекцию второго закона Ньютона:

0X: m⋅a  = F_d – F_c, (1)

где F_d = p⋅S, S = π⋅d²/4.

Найдем ускорение снаряда через следующую формулу кинематики:
 

\[ \Delta r_{x} =\frac{\upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0x}^{2} }{2a_{x}}, \]

где Δr_х = l (для снаряда длина орудия – это его перемещение), υ_x = υ (скорость вылета снаряда из ствола — это конечная скорость), υ₀ = 0, a_x = a (см. рис. 1). Тогда
 

\[ l=\frac{\upsilon ^{2} }{2a} ,\; \; \; a=\frac{\upsilon ^{2} }{2l}. \]

Подставим полученное выражение в уравнение (1):
 

\[ m\cdot \frac{\upsilon _{}^{2} }{2l} =p\cdot \frac{\pi \cdot d^{2} }{4} -F_{c}, \; \; \; p=\left(m\cdot \frac{\upsilon _{}^{2} }{2l} +F_{c} \right)\cdot \frac{4}{\pi \cdot d^{2}}, \]

p = 1,4∙10⁸ Па.

[alsak]

348. Дубовый шар лежит на дне сосуда с водой, причем половина его находится в воде. С какой силой давит на дно сосуда шар, если в воздухе он весит Р = 5,9 Н? Плотность дуба ρ₁ = 0,8⋅10³ кг/м³, воды ρ₂ = 1⋅10³ кг/м³. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.

Решение. Вес в воздухе неподвижного тела без учета выталкивающей силы равен

P = m⋅g. (1)

На шар в воде действуют сила тяжести (m⋅g), Архимедова сила (F_A) и сила реакции опоры (N) (рис. 1). Так как шар неподвижен, то

N + F_A = m⋅g,

где F_A = ρ₂⋅g⋅V_p,  \[ V_p = \frac{V}{2} = \frac{m}{2\rho _{1}} \] — объем погруженной в воду части шара.
Сила F_d, с которой шар давит на дно, по третьему закону Ньютона, численно равна силе N, с которой дно давит на шар, т.е. F_d = N. С учетом уравнения (1) получаем:
 

\[ F_{d} = m\cdot g-F_{A} =m\cdot g-\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{2\rho _{1} } =P \cdot \left(1-\frac{\rho _{2} }{2\rho _{1} } \right), \]

F_d = 2 Н.

[alsak]

349. В воздухе вес кипы хлопка Р = 1519 Н. Определить вес этой кипы в вакууме, если плотность хлопка в кипе ρ₁ = 800,0 кг/м³, а плотность воздуха ρ₂ = 1,225 кг/м³. Взвешивание производилось с помощью пружинных весов.

Решение. Вес неподвижного тела в вакууме равен

P_v = m⋅g,

вес тела на пружинных весах — P = F_y, где F_y — сила упругости пружины.
На кипу хлопка на весах в воздухе действуют сила тяжести (m⋅g), архимедова сила (F_A) и сила упругости пружины (F_y) (рис. 1). Тело неподвижно (по умолчанию), поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
 

\[ \vec{F}_{A} +m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{y} =0, \]

0Y: F_A – m⋅g + F_y = 0,

где F_A = ρ₂⋅g⋅V, V = m/ρ₁ — объем кипы хлопка. Тогда
 

\[ \rho _{2} \cdot g\cdot \frac{m}{\rho _{1} } -m\cdot g+P=0, \; \; \; m\cdot g\cdot \frac{\rho _{1} -\rho _{2} }{\rho _{1}} =P, \; \; \; P_{v} =m\cdot g=\frac{\rho _{1} }{\rho _{1} -\rho _{2} } \cdot P, \]

P_v = 1521 Н.

Примечание. На мой взгляд, не совсем удачно подобраны значения в условии этой задачи. В школьном курсе физики архимедовой силой мы обычно пренебрегаем, если плотность тела во много раз больше плотности окружающей среды. А здесь, несмотря на то, что плотность хлопка в 650 раз больше плотности воздуха, мы вынуждены учитывать эту силу.

[alsak]

351. В воздухе вес куска пробки Р₁ = 0,15 Н, куска свинца Р₂ = 1,1 Н. Если эти куски связать, подвесить к динамометру и опустить в керосин, то динамометр покажет Р₃ = 0,6 Н. Определить плотность ρ₁ пробки. Плотность свинца ρ₂ = 11,3⋅10³ кг/м³, керосина ρ₃ = 0,8⋅10³ кг/м³. Архимедовой силой в воздухе пренебречь.

Решение. Вес неподвижного тела в воздухе (без учета архимедовой силы) равен

P₁ = m₁⋅g, P₂ = m₂⋅g, (1)

показания динамометра — это сила упругости пружины динамометра, т.е.

P₃ = F_y. (2)

На связанные тела, которые подвесили к динамометру и опустили в керосин, действуют силы тяжести (m₁⋅g и m₂⋅g), архимедовы сила (F_A1 и F_A2) и сила упругости пружины динамометра (F_y) (рис. 1). Тело неподвижно (по умолчанию), поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

\[ \vec{F}_{A1} +m_{1} \cdot \vec{g}+\vec{F}_{A2} +m_{2} \cdot \vec{g}+\vec{F}_{y} =0, \]

0Y: F_A1 – m₁⋅g + F_A2 – m₂⋅g + F_y = 0,

где F_A1 = ρ₃⋅g⋅V₁, F_A2 = ρ₃⋅g⋅V₂, V₁ = m₁/ρ₁, V₂ = m₂/ρ₂ — объемы пробки и свинца. Тогда с учетом уравнений (1) и (2) получаем

\[ \rho _{3} \cdot g\cdot \frac{m_{1} }{\rho _{1} } -m_{1} \cdot g+\rho _{3} \cdot g\cdot \frac{m_{2} }{\rho _{2} } -m_{2} \cdot g+F_{y} =0, \]

\[ \frac{\rho _{3} }{\rho _{1} } \cdot P_{1} -P_{1} +\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } \cdot P_{2} -P_{2} +P_{3} =0, \]

\[ \frac{\rho _{3} \cdot P_{1} }{\rho _{1} } =P_{1} +P_{2} -P_{3} -\frac{\rho _{3} }{\rho _{2} } \cdot P_{2} =\frac{1}{\rho _{2} } \cdot \left(\rho _{2} \cdot \left(P_{1} +P_{2} -P_{3} \right)-\rho _{3} \cdot P_{2} \right), \]

\[ \rho _{1} =\frac{\rho _{3} \cdot \rho _{2} \cdot P_{1} }{\rho _{2} \cdot \left(P_{1} +P_{2} -P_{3} \right)-\rho _{3} \cdot P_{2} }, \]

ρ₁ = 210 кг/м³.

[alsak]

352. Высота плоской льдины над уровнем океана h = 2,0 м. Определить толщину всей льдины, если плотность льда ρ₁ = 0,90⋅10³ кг/м³, океанской воды ρ₂ = 1,03⋅10³ кг/м³.

Решение. На льдину в воде действуют сила тяжести (m⋅g) и архимедова сила (F_A) (рис. 1). Так как льдина плавает в воде, то

m⋅g = F_A,

где m = ρ₁⋅V, F_A = ρ₂⋅g⋅V₁, V = S⋅H — объем всей льдины, V₁ = S⋅(H – h) — объем льдины, погруженной в воду (см. рис. 1), S — площадь поперечного сечения льдины. Тогда

ρ₁⋅S⋅H⋅g = ρ₂⋅g⋅S⋅(H – h), ρ₁⋅H = ρ₂⋅(H – h),
 
\[ H\cdot \left(\rho _{2} -\rho _{1} \right)=\rho _{2} \cdot h, \; \; \; H=\frac{\rho _{2} \cdot h}{\rho _{2} -\rho _{1}}, \]

H = 16 м.

Примечание. Необходимо учесть, что площади поперечного сечения льдины в воде и над водой равны.

[alsak]

353. Найти минимальную массу груза, который нужно положить на плоскую льдину, чтобы она полностью погрузилась в воду. Площадь льдины S = 1 м², ее толщина d = 20 см, плотность льда ρ₁ = 0,92⋅10³ кг/м³, плотность воды ρ₂ = 1,0⋅10³ кг/м³.

Решение. Пусть масса груза, при котором льдина полностью погрузилась в воду, но еще не тонет, будет равна m₂ (это и будет минимальная масса, т.к. если массу груза увеличить, льдина начнет тонуть). На льдину в воде действуют сила тяжести льдины (m₁⋅g), архимедова сила (F_A) и вес груза (m₂⋅g) (рис. 1). Тело неподвижно, поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
 

\[ \vec{F}_{A} +m_{1} \cdot \vec{g}+m_{2} \cdot \vec{g}=0  \]

или в проекции на вертикальную ось

F_A – m₁⋅g – m₂⋅g = 0,

где m₁ = ρ₁⋅V, F_A = ρ₂⋅g⋅V, V = S⋅d — объем всей льдины. Тогда

ρ₂⋅g⋅S⋅d – ρ₁⋅S⋅d⋅g – m₂⋅g = 0,

m₂ = ρ₂⋅S⋅d – ρ₁⋅S⋅d = (ρ₂ – ρ₁)⋅S⋅d,

m₂ = 16 кг.

[alsak]

354. Каким должен быть минимальный объем полости V_n железного буя для того, чтобы он мог плавать на поверхности воды? Объем буя V, плотность железа ρ₁, плотность воды ρ₂.

Решение. На железный буй в воде действуют сила тяжести буя (m₁⋅g) и архимедова сила (F_A) (силой тяжести воздуха в полости буя пренебрегаем). Так как F_A = ρ₂⋅g⋅V₂, где V₂ — объем части буя, погруженной в воду. Так как плотность железа больше плотности воды, то без воздушной полости буй утонет. По мере увеличения воздушной полости внутри буя, будет увеличиваться общий объем буя, и будет увеличиваться архимедова сила. При некотором минимальном объеме полости V_n буй начнет всплывать и достигнет поверхности воды (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона для этого момента
 

\[ \vec{F}_{A} +m_{1} \cdot \vec{g}=0 \]

или в проекции на вертикальную ось

F_A – m₁⋅g = 0,

где m₁ = ρ₁⋅V₁, F_A = ρ₂⋅g⋅V, V₁ = V – V_n — объем железа. Тогда

ρ₂⋅g⋅V – ρ₁⋅(V – V_n)⋅g = 0,

\[ V-V_{n} =\frac{\rho _{2} \cdot V}{\rho _{1}}, \; \; \; V_{n} =V\cdot \left(1-\frac{\rho _{2} }{\rho _{1} } \right). \]

Примечание. Считаю, что в условии надо добавить, что полость воздушная, т.е. заполнена воздухом.

[alsak]

360. Плавающее в ртути тело погружено в нее на n₁ = 0,25 своего объема. Какая часть n₂ объема тела будет погружена в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью закрывающий тело? Плотность ртути ρ₁ = 13,6⋅10³ кг/м³, плотность воды ρ₂ = 1,0⋅10³ кг/м³.

Решение. 1 случай: тело погружено только в ртуть. На тело действуют силы тяжести (m⋅g) и архимедова сила (F_A1) (рис. 1). Запишем условие плавания тела:

F_A1 = m⋅g, (1)

где F_A1 = ρ₁⋅g⋅V₁, V₁ = n₁⋅V, V₁ — объем погруженной в ртуть части тела, V — объем всего тела.

2 случай: тело погружено в ртуть и воду. На тело действуют силы тяжести (m⋅g), архимедова сила со стороны ртути (F_A2) и архимедова сила со стороны воды (F_A3) (рис. 2). Запишем условие плавания тела:

F_A2 + F_A3 = m⋅g, (2)

где F_A2 = ρ₁⋅g⋅V₂, F_A3 = ρ₂⋅g⋅V₃, V₂ = n₂⋅V, V₂ — объем погруженной в ртуть части тела, V₃ = V – V₂ = V⋅(1 – n₂) — объем погруженной в воду части тела.

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

F_A1 = F_A2 + F_A3,  ρ₁⋅g⋅n₁⋅V = ρ₁⋅g⋅n₂⋅V + ρ₂⋅g⋅V⋅(1 – n₂),

ρ₁⋅n₁ = ρ₁⋅n₂ + ρ₂⋅(1 – n₂),

\[ n_{2} \cdot \left(\rho _{1} -\rho _{2} \right)=\rho _{1} \cdot n_{1} -\rho _{2}, \; \; \; n_{2} =\frac{\rho _{1} \cdot n_{1} -\rho _{2} }{\rho _{1} -\rho _{2}}, \]

n₂ = 0,19.