Автор Тема: Электростатика из сборника задач Савченко Н.Е.  (Прочитано 65332 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
553. В вакууме между пластинами заряженного плоского конденсатора находится в состоянии равновесия заряженный шарик. Найти ускорение, с которым будет двигаться этот шарик после увеличения расстояния между пластинами на 10%. Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2.

Решение. На шарик действуют две силы: сила тяжести (m⋅g) и сила (F), с которой электростатическое поле пластин конденсатора действует на заряженное тело. При расстоянии d1 между пластин шарик неподвижен (поэтому сила F должна компенсировать силу тяжести, следовательно, направлена вверх) (рис. 1), при расстоянии d2 двигается с ускорением (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для каждого случая:
\[ 0=\vec{F}_{1} +m\cdot \vec{g}, \; \; \; m\cdot \vec{a}=\vec{F}_{2} +m\cdot \vec{g}, \]
0Y: 0 = F1m⋅g,    m⋅ay = F2m⋅g. (1)

Пусть q — заряд частицы. Тогда (см. примечание)
\[ F_{1} =q\cdot E_{1} =q\cdot \frac{U}{d_{1}}, \;\;\; F_{2} =q\cdot \frac{U}{d_{2}}, \]
где d2 = 1,1d1 (по условию, расстояние между пластинами увеличилось на 10%). После подстановки в уравнения (1) получаем
\[ q\cdot \frac{U_{1} }{d} -m\cdot g=0, \; \; \; q\cdot U=m\cdot g\cdot d_{1}, \]
\[ m\cdot a_{y} =q\cdot U\cdot \frac{1}{d_{2} } -m\cdot g=\frac{m\cdot g\cdot d_{1} }{d_{2}} -m\cdot g, \]
\[ a_{y} =\left(\frac{d_{1} }{d_{2} } -1\right)\cdot g=\left(\frac{d_{1} }{1,1d_{1} } -1\right)\cdot g=-\frac{g}{11}, \]
ay = –0,91 м/с2. Знак «–» указывает, что ускорение направлено против оси 0Y, т.е. вниз.

Примечание. В условии задачи не указано подключен ли конденсатор к источнику тока или нет. Если не подключен, то изменение расстояний между пластинами не изменит напряженность поля между ними (у отключенного конденсатора заряд пластин не изменяется, а напряженность поля пластин не зависит от расстояния), и шарик останется в равновесии. Если подключен, то постоянным остается напряжение на пластинах, но изменяется напряженность поля, и сила, действующая на шарик.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
565. Шарик массой m = 2 г, имеющий положительный заряд q, начинает скользить без начальной скорости из точки А по сферической поверхности радиуса R = 10 см (рис. 1). Потенциальная энергия взаимодействия заряда q и неподвижного отрицательного заряда Q в начальный момент WA = –2∙10–3 Дж. Определить потенциальную энергию взаимодействия зарядов, когда заряд q находится в точке В, если в этом случае результирующая сил реакции со стороны сферической поверхности и кулоновского взаимодействия, приложенная к шарику, F = 0,1 Н. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2. Трением между шариком и сферической поверхностью пренебречь.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится точка В (рис. 2).
Полная энергия системы шарик-заряд Q в начальном состоянии

W0 = m⋅g⋅h0 + WA,
где h0 = R.
Полная энергия системы шарик-заряд Q в конечном состоянии
\[ W=\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2} +W_{B}, \]
где υ — скорость шарика в точке В, WB — потенциальная энергия взаимодействия зарядов, когда заряд q находится в точке В. Так как на систему не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения энергии:
\[ m\cdot g\cdot R+W_{A} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +W_{B}, \; \; \; W_{B} =m\cdot g\cdot R-\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +W_{A}. \; \; \; (1)  \]

На шарик действуют сила тяжести (m⋅g), сила кулоновского взаимодействия (Fk) и сила реакции опоры (N) (см. рис. 2). Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось 0Y:

m⋅ac = N – m⋅g – Fk,

где ac = υ2/R, N – Fk = F (по условию «результирующая сил реакции со стороны сферической поверхности и кулоновского взаимодействия, приложенная к шарику, F»). Тогда
\[ m\cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} =F-m\cdot g, \; \; \; m\cdot \upsilon ^{2} =R\cdot \left(F-m\cdot g\right).  \]

После подстановки в уравнение (1) получаем:
\[ W_{B} =m\cdot g\cdot R-\frac{R\cdot \left(F-m\cdot g\right)}{2} +W_{A} =\frac{3m\cdot g-F}{2} \cdot R+W_{A}, \]
WB = –4⋅10–3 Дж.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
567. Атом неона ионизируется при столкновении с электроном, если энергия электрона W = 21,6 эВ (энергия ионизации). Длина свободного пробега электрона в неоновой лампе между двумя последовательными соударениями l = 1 мм. Расстояние между плоскими электродами лампы d = 1 см. Определить напряжение, при котором зажигается неоновая лампа (будет происходить процесс ионизации). Считать, что при ударе электрон полностью передает энергию атому неона. Заряд электрона e = 1,6⋅10–19 Кл, 1 эВ = 1,6⋅10–19 Дж.

Решение. Работа электростатического поля по перемещению электрона вдоль силовой линии равна

A = q⋅E⋅Δx,

где q = –e — заряд электрона, Δx = –l — электрон перемещается в противоположную сторону силой линии, E = U/d. Тогда
\[ A=e\cdot \frac{U}{d} \cdot l. \; \; \; (1) \]
Работа поля идет на изменение кинетической энергии электрона

A = ΔW = Wk – Wk0 = Wk,   (2)

так как при ударе электрон полностью передает энергию, т.е. останавливается, и электрическое поле дальше разгоняет электрон с нулевой скорости.
Неоновая лампа начнет светиться (будет происходить процесс ионизации), если электрическое поле в лампе сообщит электрону энергию не меньше W, т.е.

WkW.

С учетом уравнения (1) получаем
\[ e\cdot \frac{U}{d} \cdot l\ge W, \; \; \; U\ge \frac{W\cdot d}{e\cdot l}, \]
U ≥ 216 В.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
539. Какой электрический заряд пройдет по проводам, соединяющим обкладки плоского конденсатора с зажимами аккумулятора, при погружении конденсатора в керосин? Площадь пластины конденсатора S = 150 см2, расстояние между пластинами d = 5,0 мм, ЭДС аккумулятора E = 9,42 В, диэлектрическая проницаемость керосина ε2 = 2,1.

Решение. Погружение конденсатора в керосин приведет к изменению диэлектрика конденсатора и, следовательно, к изменению его электроемкости. Запишем уравнения для электроемкости плоского конденсатора с воздухом (ε1 = 1) и с керосином (ε2):
\[ C_{1} \; =\frac{\varepsilon _{1} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} ,\; \; \; C_{2} \; =\frac{\varepsilon _{2} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} \;\;\; (1) \]
(остальные параметры конденсатора не изменились).

Заряды на конденсаторе будут равны:

q1 = C1U,   q2 = C2U,   (2)

где напряжение на конденсаторах не изменилось, т.к. конденсатор подключен к зажимам аккумулятора, и U = E (сопротивлением аккумулятора, по умолчанию, пренебрегаем). Так как электроемкость конденсатора увеличилась, то увеличится и заряд на нем. Этот заряд конденсатор получит от аккумулятора, и он будет равен

Δq = q2q1.

С учетом уравнений (1)-(2) получаем
\[ \Delta q=\frac{\varepsilon _{2} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} \cdot E-\frac{\varepsilon _{1} {\rm \; }\cdot \varepsilon _{0} \cdot S}{d} \cdot E=\left(\varepsilon _{2} -\varepsilon _{1} \right)\cdot \frac{{\rm \; }\varepsilon _{0} \cdot S}{d} \cdot E, \]
Δq = 2,5⋅10–10 Кл.
« Последнее редактирование: 31 Октября 2011, 19:39 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
545. На рис. 1 показана электрическая цепь, в которой напряжение источника U = 10 В, а конденсаторы С1 и С2 имеют одинаковую емкость: С1 = С2 = С = 10 мкФ. Какой заряд пройдет через источник после замыкания ключа К? Каким станет при этом заряд конденсатора С1?

Решение. До замыкания ключа два конденсатора соединены последовательно (рис. 2), поэтому общая электроемкость цепи C01 будет равна
\[ \frac{1}{C_{01} } =\frac{1}{C_{1} } +\frac{1}{C_{2} }, \; \; \; C_{01} =\frac{C_{1} \cdot C_{2} }{C_{1} +C_{2}}. \]
Их общий заряд
\[ q_{01} =C_{01} \cdot U=\frac{C_{1} \cdot C_{2} }{C_{1} +C_{2} } \cdot U.  \]

После замыкания ключа конденсатор C1 будет закорочен (обкладки конденсатора замкнуты проводом с нулевым сопротивлением), поэтому напряжение и заряд на нем равны нулю. Общая электроемкость цепи C02 (рис. 3) и общий заряд q02 равны
C02 = C2, q02 = C2U.

Тогда через источник тока пройдет заряд
\[ \Delta q=\left|q_{02} -q_{01} \right|=\left|C_{2} -\frac{C_{1} \cdot C_{2} }{C_{1} +C_{2} } \right|\cdot U=\frac{C_{2}^{2} \cdot U}{C_{1} +C_{2}}, \]
Δq = 5,0⋅10–5 Кл, q1 = 0.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
533. В вершинах квадрата со стороной a расположены четыре заряда: два из них положительные и два отрицательные, модули зарядов одинаковы и равны q. Определить напряженность электростатического поля в точке пересечения диагоналей квадрата. Рассмотреть все возможные случаи.

Из геометрии. 1) Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу.
2) Точка пересечения диагоналей O лежит на одинаковом расстоянии b от вершин квадрата.

Решение. В точке O электрическое поле создано несколькими зарядами q1, q2, q3, q4. Результирующая напряженность полей в точке О будет равна
\[ \vec{E}_{O} =\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2} +\vec{E}_{3} +\vec{E}_{4}, \]
где
\[ b=\frac{a\sqrt{2}}{2}, \;\;\; E_{1} =E_{2} =E_{3} =E_{4} =\frac{k\cdot q}{b^{2}} = \frac{2k\cdot q}{a^{2}} \; \; \; (1) \]
(так как модули всех зарядов одинаковы и находятся на одном и том же расстоянии от точки О).

1 случай. Пусть заряды расположены так, как показано на рис. 1. Вектора E1 и E4 равны по величине, противоположны по направлению, следовательно, их векторная сумма равна нулю. Аналогично для векторов E2 и E3. Тогда
EO = 0.

2 случай. Пусть заряды расположены так, как показано на рис. 2. Вектора E1 и E4 равны по величине, и направлены в одну сторону, следовательно, их сумма равна 2E1. Аналогично получаем, что сумма E2 и E3 равна 2E2 (рис. 3). Тогда EO — это диагональ квадрата OBCA и ее значение равно (с учетом уравнения (1) 2E2 = 2E1)
\[ E_{O} =\sqrt{\left(2E_{1} \right)^{2} +\left(2E_{2} \right)^{2}} =2E_{1} \cdot \sqrt{2} = \frac{4k\cdot q\cdot \sqrt{2} }{a^{2}}. \]

Все остальные расположения зарядов будут аналогичны или случаю 1, или случаю 2.

andrey

  • Гость
Интересует решение номера 550,551

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
550. Шар, диаметр которого d = 1 см и заряд q = 1∙10–6 Кл, помещен в масло плотностью ρ1 = 0,8∙103 кг/м3. Плотность материала шара ρ2 = 8,6∙103 кг/м3. Определить направленную вертикально вверх напряженность электростатического поля, в которое надо поместить шар, чтобы он плавал в масле.

Решение. На шар действуют сила тяжести (m∙g), кулоновская сила (Fk), Архимедова сила (FA). Запишем второй закон Ньютона для плавающего тела (рис. 1):
\[0=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{k} +\vec{F}_{A} ,\]
0Y: 0 = –m∙g + Fk + FA,
где m = ρ2V, FA = ρ1g∙V (считаем, что шар полностью в масле), Fk = q∙E, V = 4/3π∙R3 = 1/6π∙d3.
0 = –ρ2V∙g + ρ1g∙V + q∙E,
\[E=\frac{\rho _{2} -\rho _{1}}{q} \cdot g\cdot V=\frac{1}{6} \pi \cdot \frac{\rho _{2} -\rho _{1}}{q} \cdot g\cdot d^{3},\]
E = 4,1∙104 В/м.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
551. Как изменится ускорение падающего шарика массой m = 4,0 г, если ему сообщить заряд q = 3,2∙10–8 Кл? Напряженность электрического поля Земли Е = 120 В/м и направлена вертикально вниз.

Решение. Когда шарик был без заряда, на него действовала только сила тяжести (m∙g), и ускорение шарика равнялось g (ускорение направленно вниз). В электрическом поле на шарик действуют сила тяжести (m∙g) и кулоновская сила, которая направлена вниз (т.к. напряженность направлена вниз, а заряд положительный) (Fk). Запишем второй закон Ньютона для шарика (считаем, что ускорение будет направлено вниз) (рис. 1):
\[m\cdot \vec{a}=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{k} ,\]
0Y: m∙a = m∙g + Fk,
где Fk = q∙E. Изменение ускорение

Δa = a – g
или
\[\Delta a=a-g=\frac{m\cdot g+q\cdot E}{m} -g=\frac{q\cdot E}{m} ,\]
Δa = 9,6∙10–4 м/с2. Увеличится.

andrey

  • Гость
Если можно решение задач 532,560. Спасибо.