Буздин А. И., Кротов С. С. Повторим гидростатику // Квант

Буздин А. И., Кротов С. С. Повторим гидростатику // Квант. — 1985. — № 2. — С. 48–53.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Школьная программа по физике построена так, что, познакомившись с темой «Гидростатика» в шестом классе, учащиеся больше к ней не возвращаются. По-видимому, принято считать, что эта тема нетрудная. Но, как показывает опыт вступительных экзаменов, задачи и вопросы по гидростатике часто ставят абитуриентов в тупик.

В чем здесь дело? С нашей точки зрения это связано с тем, что в шестом классе школьники еще не готовы к восприятию всех тонкостей физики, они лишь знакомятся с ней. Однако при составлении вопросов и задач для вступительных экзаменов подразумевается, что абитуриент переосмыслил многие темы, в том числе и гидростатику, с более общих позиций, с учетом знания всего курса физики.

В данной статье нам хотелось напомнить основные законы гидростатики и рассмотреть несколько конкретных задач и вопросов, которые в разные годы включались в экзаменационные билеты или задавались абитуриентам в процессе устного экзамена.

Жидкости и газы при движении как целое представляют собой механическую систему, части которой взаимодействуют друг с другом посредством только сил давления. Действительно, когда жидкость (здесь и далее, говоря о жидкости, мы подразумеваем и газ тоже) находится в покое, вязкость не проявляется — жидкое трение возникает лишь при движении слоев жидкости друг относительно друга или относительно твердого тела.

Для жидкости, как известно, выполняется закон Паскаля: давление, производимое на жидкость, передается без изменения в каждую точку жидкости. Если жидкость находится под действием только силы тяжести, давление р увеличивается с глубиной погружения h по закону , где ρ — плотность жидкости. Поэтому различные участки тела, погруженного в жидкость, испытывают разные силы давления. В результате их суммарного действия возникает выталкивающая сила (архимедова сила). Согласно закону Архимеда, тело, целиком погруженное в жидкость, выталкивается кверху с силой, равной весу вытесненной им жидкости (то есть весу жидкости в объеме этого тела).

Сразу же обратим внимание на тот факт, что закон Архимеда неприменим, когда погруженное тело плотно прижато к стенкам или дну сосуда. Например, известно, что подводная лодка, опустившаяся на илистое дно, под действием силы гидростатического давления прижимается ко дну, а вовсе не выталкивается кверху.

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных задач и вопросов.

Вопрос 1. На одной из чашек уравновешенных весов находится стакан с водой и штатив с подвешенным к нему грузом (рис. 1). Что произойдет с равновесием весов, если нить удлинить настолько, чтобы груз оказался в воде?

Рис. 1.

Многие абитуриенты считают, что равновесие нарушится. В качестве причины одни называют выталкивающую силу, действующую на груз по закону Архимеда и уменьшающую натяжение нити, а значит, и силу давления штатива на чашку весов. Другие считают, что после погружения в воду груз будет давить на нее с добавочной силой или, что эквивалентно, повысит уровень воды в стакане и тем самым увеличит давление на дно стакана, в результате чего левая чашка перевесит.

Чтобы получить правильный ответ, достаточно понять, что содержимое чашки не меняется в зависимости от положения груза — вне воды или в воде, и поэтому равновесие весов сохраняется. Но что же было неверного в предыдущих рассуждениях?

При опускании груза в воду натяжение нити действительно уменьшится на величину выталкивающей силы, действующей на груз, и поэтому уменьшится сила давления штатива на чашку. Однако, согласно третьему закону Ньютона, на величину выталкивающей силы возрастет сила, действующая со стороны груза на воду и на дно сосуда. Таким образом, давление стакана на чашку увеличится. Причем уменьшение силы давления штатива будет в точности скомпенсировано увеличением силы давления стакана на чашку весов. Ответ, как видим, остается единственным — равновесие не нарушится.

Подумайте, что произошло бы с весами, если бы в чашку с водой опустили палец, не касаясь стенок и дна стакана, или если бы штатив находился на другой чашке уравновешенных весов?

Вопрос 2. В сосуде с водой плавает стакан, в котором находится небольшой шарик (рис. 2). Как изменится уровень воды, если шарик — один раз деревянный, а другой стальной — переложить из стакана в сосуд?

Рис. 2.

Сила давления на дно сосуда равна, очевидно, весу воды, стакана и шарика. Если поставить сосуд (который для простоты можно считать невесомым) на весы, то они покажут вес содержимого, причем их показания не изменятся от того, будет ли шарик находиться в стакане или в сосуде с водой. С другой стороны, весы должны показывать силу, действующую на дно сосуда, которая в начальной ситуации определяется только уровнем воды в сосуде.

В случае, когда из стакана перекладывают деревянный шарик, он будет плавать на поверхности воды, и действующая на дно сосуда сила будет, по-прежнему, определяться лишь уровнем воды. А поскольку эта сила не меняется, уровень воды тоже должен остаться прежним.

Иным будет результат в случае, когда шарик стальной. Такой шарик опустится на дно сосуда, и полная сила давления на дно будет складываться из силы давления воды и силы давления шарика. Полная сила опять-таки не должна измениться, значит, должна уменьшиться сила давления воды. Следовательно, уровень воды в этом случае понизится.

Попробуйте ответить на вопрос: как изменится уровень воды в стакане, где плавает кусок льда с вмороженными в него а) пробкой, б) дробинкой, в) пузырьком воздуха, после того как лед растает?

Вопрос 3. Стальной шарик плавает в ртути. Поверх ртути наливают слой воды, покрывающий шарик (рис. 3). Как изменится глубина погружения шарика в ртуть?

Рис. 3.

Очевидно, возникает желание воспользоваться непосредственно законом Архимеда. Однако трудность состоит в том, что разные части шарика находятся в разных жидкостях, поэтому шарик в целом рассматривать нельзя.

Выберем произвольно малый участок поверхности шарика, находящийся в ртути, и найдем действующую на него силу давления. Ясно, что она будет равна

где ρ₁ — плотность воды, ρ₂ — плотность ртути, ΔS — площадь выбранного участка. Представим эту силу в виде

Теперь просуммируем силы давления, действующие на все участки поверхности шарика, соприкасающиеся как со ртутью, так и с водой, и получим две силы: F₁ и F₂. Сила  есть выталкивающая сила, действующая на шарик при условии, что он погружен только в воду. Вторая сила  представляет собой силу выталкивания шарика, как если бы он был погружен до уровня ртути в жидкость плотности . Таким образом, равнодействующая выталкивающая сила равна

Мы видим, что она складывается из двух частей: вода выталкивает часть шарика, плавающую в ней, а ртуть, сама по себе, выталкивает часть шарика, погруженную в нее. Имеет место как бы принцип независимости сил выталкивания — каждая жидкость вносит в общую силу свой независимый вклад. Хотя интуитивно (и такие ответы действительно встречаются!) могло бы показаться, что ртуть выталкивает шарик, а вода наоборот прижимает его к ртути.

Итак, вода как бы помогает ртути удерживать шарик, он несколько «вылезает» из ртути, и глубина погружения шарика в ртуть уменьшается.

Задача 1. В стакане с водой плавает цилиндрическая деревянная шайба с цилиндрической дыркой. Оси шайбы и дырки параллельны. Площадь дна стакана S, площадь сечения дырки s. Удерживая шайбу на месте, дырку осторожно заполняют маслом, после чего шайбу отпускают. На какую высоту поднимется шайба, если вначале она выступала из воды на величину Н? Плотность масла ρ, плотность воды ρ₀.

Прежде всего найдем, на какую высоту поднимется уровень воды в стакане после того как шайбу отпустят. Для этого определим изменение силы давления ΔF_д на дно сосуда. С одной стороны,

если Δh — изменение уровня воды; с другой стороны, изменение силы давления равно силе тяжести налитого масла:

Отсюда получаем

Выталкивающая сила, действующая на шайбу и уравновешивающая ее силу тяжести, определяется давлением воды на ее нижнее основание. Поскольку шайба продолжает плавать, положение ее относительно нового уровня воды в стакане должно остаться неизменным. Следовательно, шайба всплывет как раз на величину Δh.

Подумайте, на сколько поднялась бы шайба, если масло налить вне шайбы, ничего не наливая в дырку?