Башмаков М. И. Равномерное движение // Квант

Башмаков М. И. Равномерное движение // Квант. — 1983. — № 3. — С. 26–30.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Мы здесь рассматриваем прямолинейное равномерное движение, то есть движение по фиксированной прямой с постоянной скоростью. Выбрав направление на этой прямой, можно записать уравнение движения в виде

                                                                     (1)

где t — время движения, s и υ — проекции векторов перемещения и скорости на выбранную ось. Тогда s и υ могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Средняя скорость

Формулу (1) часто записывают в виде . Соотношение  имеет смысл и для неравномерного движения (движения с переменной скоростью), но в этом случае υ является по определению средней скоростью движения.

В качестве разминки, постарайтесь, не составляя уравнений, ответить на следующие вопросы:

1. Одна машина шла первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую — со скоростью 50 км/ч. Вторая машина шла весь путь со скоростью 40 км/ч. Какая из машин затратила на всю дорогу меньше времени? (При s₁ = s₂ вторая машина затратила меньше времени, см. рис. 1, а)

2. Одна машина первую половину времени движения шла со скоростью 30 км/ч, а вторую — со скоростью 50 км/ч. Вторая машина двигалась столько же времени, сколько и первая, причем ее скорость была все время 40 км/ч. Какая из машин прошла большее расстояние? (При t₁ = t₂ обе машины прошли одинаковое расстояние, см. рис. 1, б)

а

б

Рис. 1.

Возможные ошибки при ответах на вопросы о равномерном движении связаны с тем, что мы иногда путаем характер зависимости между двумя из величин s, υ и t при фиксированной третьей.

При фиксированном перемещении зависимость между временем и скоростью — обратно пропорциональная. При этом, если перемещение 2s > 0 состоит из двух одинаковых участков s, которые проходятся с постоянными (но разными) скоростями, первый за время t₁, второй, за время t₂, то средняя скорость  меньше среднего арифметического скоростей на каждом из участков, равного

Действительно, разность

очевидно, положительна, то есть .

Так, в задаче 1 средняя скорость первой машины меньше, чем (30 + 50)/2 км/ч = 40 км/ч, значит вторая машина (шедшая со скоростью 40 км/ч) приедет быстрее.

При фиксированном времени движения зависимость между перемещением и скоростью — прямо пропорциональная. Поэтому если в течение двух одинаковых отрезков времени t происходит равномерное движение с разными скоростями υ₁ и υ₂, то средняя скорость υ на всем пути будет равна среднему арифметическому скоростей на отдельных участках. Действительно,

Так, в задаче 2 средняя скорость первой машины равна скорости второй ((50+30)/2 = 40) и поэтому они за одинаковое время совершают одинаковое перемещение.

Полезно изображать движение графически, рассматривая перемещение как функцию от времени: s = s(t). Для первых двух задач это сделано на рисунке 1, а, б.

В заключении этого раздела самостоятельно решите следующую задачу.

3. Пусть s_i, t_i — положительные числа (i = 1, 2,…, п). Докажите, что дробь

лежит между наименьшей и наибольшей из дробей

Сформулируйте результат в терминах средних скоростей.

Относительное движение.

К совсем простым задачам, часто неверно решаемым, относится задача

4. Когда катер затрачивает на движение туда и обратно на данное расстояние меньше времени — при движении по реке (с постоянной скоростью течения) или в стоячей воде?

Кажется очевидным, что время будет одинаковым — ведь при движении по реке туда и обратно скорость течения в одну сторону прибавляется к скорости катера, а в другую — вычитается, так что изменения в скорости компенсируют друг друга. Однако это не так. На самом деле катер обернется быстрее в стоячей воде!

Графики движения катера показаны на рисунке 2.

а

б

Рис. 2.

Даже если вы правильно угадали ответ, очень советую аккуратно обосновать его; кроме формулы (1), вам потребуется обычная формула сложения скоростей:

утверждающая, что скорость υ_к катера в реке равна сумме его скорости в стоячей воде υ_к0 и скорости реки υ_р.

В задаче с катером мы столкнулись с наложением двух равномерных движений — движения катера и движения воды в реке. С такой ситуацией связано много интересных и неожиданных задач.

Попробуйте без вычислений решить такую задачу.