Позойский С. В., Жидкевич В. И. Избранные задачи по теме «Конденсаторные цепи»

Позойский С. В., Жидкевич В. И. Избранные задачи по теме «Конденсаторные цепи» // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2006. – № 4. – С. 42–49.

Исправления Сакович А. Л. (ноябрь 2006)

В статье разобраны примеры задач повышенного и углубленного уровня на расчет электрических цепей постоянного тока с конденсаторами. Приводится краткий теоретический материал по данной теме.

Расчет электрических цепей, в которых конденсаторы соединены последовательно или параллельно, производится по известным формулам.

Если в цепи нет участков с последовательно или параллельно соединенными конденсаторами, но есть точки с одинаковыми потенциалами, то их можно либо соединять, либо разъединять, не меняя режима работы цепи. Цепь при этом упрощается, и мы приходим к случаю параллельно и последовательно соединенных конденсаторов.

Если в цепи нет параллельно и последовательно соединенных конденсаторов и нет точек с одинаковыми потенциалами, то для ее расчета используются следующие положения.

1. Сумма зарядов всех обкладок, соединенных с одним из полюсов источника тока, равна заряду источника (закон сохранения заряда):

                                                      (1)

Например, для цепи, изображенной на рисунке 1, .

Рис. 1.

2. Если пластины нескольких конденсаторов соединены в один узел, не связанный непосредственно с источником тока, то алгебраическая сумма зарядов на этих пластинах равна нулю (закон сохранения заряда):

                                                      (2)

Например, для цепи, представленной на рисунке 2, .

Рис. 2.

Рис. 3.

Это соотношение справедливо и тогда, когда перед конденсаторами имеются источники ЭДС (рис. 3): .

3. Алгебраическая сумма разностей потенциалов на всех конденсаторах и источниках тока, встречающихся при обходе любого замкнутого контура, равна нулю (закон сохранения энергии):

                                   (3)

4. Если на каком-либо из участков цепи 1–2 (рис. 4) имеется конденсатор и источник ЭДС, т. е. участок цепи неоднородный, то заряд конденсатора определяется ЭДС источника и разностью потенциалов на концах участка :

                               (4)

Если источника ЭДС на участке нет , то

                                              (5)

Рис. 4.

Этот факт обусловливает необходимость учитывать выбор знаков в каждом конкретном случае:

а) Если , т. е. разность потенциалов  направлена в ту же сторону, что и ЭДС (см. рис. 4), то следует пользоваться формулой (4).

б) Если , то формулу (4) лучше записать в таком виде:

                                       (6)

где .

В этом случае разность потенциалов «противодействует» ЭДС. Если же при этом , то для определения заряда формулу (4) следует записать в таком виде:

                                (7)

Правило для определения знаков зарядов на обкладках конденсатора: поле между обкладками конденсатора направлено в ту сторону, в которую направлена сумма ЭДС и разности потенциалов .

В приведенном примере (см. рис. 4) при  и  поле конденсатора направлено влево (левая обкладка заряжена отрицательно, правая – положительно);

Если , то поле между обкладками конденсатора направлено в сторону меньшего потенциала, т. е. со стороны меньшего потенциала будет обкладка с отрицательным зарядом.

в) В случае, когда величина потенциалов j₁ и j₂ неизвестна, следует пользоваться одним из рассмотренных вариантов по своему усмотрению.

Если несколько источников ЭДС и конденсаторов соединены последовательно, то заряд конденсатора определяется из соотношения

                                           (8)

где  – алгебраическая сумма ЭДС, С – общая емкость конденсаторов.

                                                               (9)

Правила знаков те же, что и приведенные ранее.

Задача 1. Конденсаторы соединены так, как показано на рисунке 5. Чему равна емкость всей батареи, если емкость каждого конденсатора равна С?

Рис. 5.

Решение. Упростим последовательно цепь (рис. 6).

а                                     б

        в                            г

Рис. 6.

Задача 2. Из проволоки сделан куб, в каждое ребро которого включено по одному конденсатору емкостью С. Найдите емкость батареи (рис. 7).

Рис. 7.

Решение. Соединяем точки с одинаковыми потенциалами 1, 2, 3  и 4, 5, 6  . Получим (рис. 8):

а

б

Рис. 8.

Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть случаи, когда цепь присоединена к источнику тока точками а3 и а6.

Задача 3. В цепи, изображенной на рисунке 9, С₁ = С₃ = С; С₂ = С₄ = С₅ = 2С. Найдите емкость батареи конденсаторов.

Рис. 9.

Решение. а) Из условия следует, что , поэтому конденсатор С₅ можно «выбросить» (рис. 10, а). Получим:

а

б

Рис. 10.

б) Но точки с одинаковыми потенциалами можно также соединить (рис. 11):

а

б

Рис. 11.

Задача 4. Определите заряд батареи конденсаторов, изображенной на рисунке 12, если к клеммам АВ приложено напряжение U = 100 B, а емкости конденсаторов C₁ = 2 мкФ, С₂ = 1 мкФ.

Рис. 12.

Решение. Заменим эту схему эквивалентной (рис. 13, а):

а

б

Рис. 13.

Мы видим, что эта задача аналогична задаче 3. И в этой цепи  и конденсатор С₂ можно «выбросить». Тогда получим цепь (рис. 13, б). Общая емкость этой батареи .

Находим заряд батареи: , q = 2∙10^–4 Кл.

Точки 2, 3 можно было и соединить, как в задаче 3. Получили бы тот же результат.

Задача 5. Найдите емкость батареи одинаковых конденсаторов (рис. 14). Емкость отдельного конденсатора С считать известной.

Рис. 14.

Решение. Общая емкость батареи

                                                      (1)

где q – заряд батареи, U – напряжение на ней.

Запишем уравнения для контуров и узлов. Контуры обходим против часовой стрелки. Если при этом мы идем от «–» к «+» на обкладках конденсатора, то соответствующая разность потенциалов берется со знаком «+», если от «+» к «–», то со знаком «–». Выбор направления обхода контура условен: его можно обходить и по часовой стрелке.

Контур 217832:

                                             (2)

Контур 87658:

                                            (3)

Контур 38543:

                                                      (4)

Для узла 8:

                                                        (5)

Для узла 3:

                                                        (6)

                                                        (7)

                                              (8)

                                              (9)

Решая эту систему уравнений, получим

Следовательно, .

Эту же задачу можно решить иначе.

Пусть .

Потенциалы точек 8 и 3 – .

Для определенности будем считать, что . Тогда

Кроме того, так как , то

                                (10)

                                (11)

Из этой системы получим

Заряд батареи

Задача 6. Батарея конденсаторов заряжена до разности потенциалов U₀ = 200 В, после чего ее отключили от источника напряжения (рис. 15). Как изменится при этом энергия батареи при замыкании ключа К, если С₁ = С₂ = С₃ = С₅ = 1 мкФ; С₄ = 0,5 мкФ?

Рис. 15.

Решение. При отключении батареи от источника тока ее заряд не изменится независимо от положения ключа К, а емкость ее после замыкания ключа изменится. Пусть С₀, С – емкости батареи до замыкания и после замыкания соответственно, W₀, W – соответствующие энергии, q₀ = q – заряд батареи.

                             (1)

где q₀ = C₀∙U₀; q = C∙U; U – напряжение на батарее конденсаторов после замыкания ключа (источник напряжения отключен). До замыкания ключа К

                                             (2)

Найдем емкость батареи после замыкания ключа.

Узел 3:

                                         (3)

Узел а:

                                              (4)

Узел b:

                                              (5)

Контур а43ba:

                                           (6)

Контур 5ab65:

                                           (7)

Контур 5a4215:

                                             (8)

Из приведенной системы уравнений (1)–(8) находим С₀, q, U. Затем из соотношения  определяем С, а из уравнения (1) DW.

Расчеты дают С₀ = 0,38 мкФ; Q = 0,85U; С = 0,85 мкФ; DW = –0,39 мДж.

Таким образом, при замыкании ключа энергия батареи уменьшилась. Заметим, что заряд ее не изменился, а емкость увеличилась. Уменьшение энергии обусловлено выделением в цепи теплоты (перераспределение зарядов между конденсаторами сопровождалось возникновением электрического тока в соединительных проводах) и излучением электромагнитных волн при изменении силы тока.

Задача 7. Найдите электродвижущую силу источника тока в схеме, изображенной на рисунке 16. Заряды на конденсаторах 2С и С соответственно 3q и 2q. Внутреннее сопротивление источника не учитывать.

Рис. 16.

Решение. Заряды на обкладках конденсаторов определяются из соотношений:

                                                (1)

                                                   (2)

где

                                            (3)

                                          (4)

                                                (5)

С учетом (3), (4), (5) соотношения (1) и (2) примут вид:

                                               (6)

                                               (7)

Делим почленно (1) и (2), получим: ;

                                                      (8)

С учетом (3) и (4) имеем:

                                                (9)

Тогда соотношения (6) и (7) примут вид:

                     (10)

Проверим результат по (7):

                              (11)