Ащеулов С., Барышев В. Погоня, столкновение, поимка // Квант

Ащеулов С., Барышев В. Погоня, столкновение, поимка // Квант. — 1979. — № 1. — С. 20–26.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Ровно в полдень часовая и минутная стрелки часов совпадают. Когда они совпадут в следующий раз? Несмотря на простоту, эта старая задача весьма поучительна. Решим ее.

Пусть ν₁ и ν₂ — частоты вращения часовой и минутной стрелок. Очевидно, . Если t — момент времени следующего после полудня совпадения стрелок, то , ибо к моменту t минутная стрелка совершит на один оборот больше часовой. Следовательно,

1 ч 5 мин 27 с.

Мы видим, что величина t зависит лишь от разности частот . Это наводит на мысль, что решение можно получить, рассуждая по-другому. За время между двумя последовательными совпадениями минутная стрелка совершает один оборот относительно часовой. Поскольку частота вращения минутной стрелки относительно часовой равна , можем сразу заключить, что

Эта задача относится к задачам следующего типа. В некоторой системе отсчета заданы характеристики движения нескольких тел. Требуется найти, как положения тел меняются друг относительно друга с течением времени. На этом занятии математического кружка мы познакомимся с несколькими такими задачами. Все они будут решены с помощью одного и того же примера: выбора подходящей системы координат.

1. Автомобили у перекрестка

Автомобили А и В движутся равномерно с одинаковыми скоростями по прямым дорогам 1 и 2, пересекающимся в точке О. Нужно определить кратчайшее расстояние между автомобилями, если известны их начальные положения и угол α между дорогами (рис. 1 а).

Рис. 1.

Рассмотрим движение автомобиля В с точки зрения наблюдателя, находящегося в автомобиле А. Как известно, скорость такого движения равна разности и постоянна по величине и направлению. Это значит, что автомобиль В движется относительно автомобиля А по некоторой прямой 3. (На рисунке 1 б прямая 3 изображена пунктиром; она нарисована в системе отсчета, связанной с автомобилем А.) Следовательно, автомобили находятся ближе всего друг к другу в тот момент, когда автомобиль В оказывается в точке В', являющейся основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую 3. Длина отрезка АВ' равна искомому кратчайшему расстоянию между автомобилями.

Чтобы изобразить положение отрезка АВ' в неподвижной системе отсчета, сместим его конец В' параллельно дороге 1 так, чтобы он попал в точку В₁ на дороге 2, и проведем . Точки А₁ и В₁ являются искомыми положениями автомобилей (рис. 1 б).

Очевидно, прямая 3 параллельна биссектрисе угла между дорогами. Нетрудно подсчитать, что

2. Охотник и лиса

Лиса бежит с постоянной скоростью пo прямой l. Неподвижный охотник замечает лису, когда она находится в ближайшей от него точке прямой l (на расстоянии а). Как должён двигаться охотник, чтобы произвести выстрел с кратчайшего расстояния, если он может бежать со скоростью, равной по величине V₂? Каково это кратчайшее расстояние?

Нетрудно сообразить, что при условии охотник должен бежать прямолинейно. Рассмотрим движение охотника в системе отсчета, связанной с лисой, т. е. движущейся со скоростью (рис. 2 а).

Рис. 2.

Скорость охотника в этой системе равна ,. Построим вектор . Начало вектора поместим в точку В (исходное положение охотника). Начало вектора — в конец О вектора . Если начала всех векторов находятся в точке В, то их концы при всевозможных направлениях движения охотника лежат на окружности радиуса V₂ с центром в точке О.

Во введенной системе отсчета прямая, по которой будет бежать охотник, должна иметь общие точки с этой окружностью и проходить как можно ближе к точке А.

Если , то этим условиям удовлетворяет касательная, проведенная из точки В к окружности. В этом случае искомое направление движения охотника (угол φ; см. рис. 2 а) и кратчайшее расстояние до лисы R_min таковы

Если , то охотник может бежать в пределах заштрихованного сектора в любом направлении, если движется прямолинейно (рис. 2 б): условия задачи не запрещают охотнику достичь какой-то точки лисьей тропы раньше, чем через эту точку пробежит лиса, и в этом месте спокойно подождать лису.

Рис. 2.

(*При условии возможны и криволинейные траектории движения охотника. Семейство этих траекторий можно описать, например, следующим образом. Пусть наперед задано любое положительное число t. Тогда в течение интервала времени от начала движения до момента t охотник может бежать по любой траектории; начиная с момента t охотник может двигаться по любой из бесчисленного множества прямолинейных траекторий, удовлетворяющих условиям задачи.)

Наконец, при условии , человек может сколь угодно близко подбежать к лисе, выбрав соответствующий малый угол φ.

Читателю предлагается самому доказать эти утверждения и нарисовать нужные рисунки.