Александров Д. Векторные уравнения в кинематике // Квант

Александров Д. Векторные уравнения в кинематике // Квант. — 1991. — № 2. — С. 59–64.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Как известно, при равноускоренном движении зависимости скорости и перемещения тела от времени задаются формулами

                                                                                 (1)

                                                                              (2)

где начальная скорость и ускорение тела — не зависящие от времени векторы.

Упражнение 1. Из формул (1) и (2) получите следующие выражения:

                                                              (3)

(где — скалярное произведение).

Упражнение 2. Убедитесь, что из формулы (2) после дифференцирования по времени получается выражение (1).

Среди всевозможных случаев равноускоренного движения особое место занимает свободное падение тел в поле тяжести. Решение большинства задач на ату тему сводится, как правило, к применению формул (1), (2) и (3). На этом примере мы и рассмотрим основные методы работы с векторными уравнениями.

Задача 1. Тело, брошенное с поверхности земли под углом α к горизонту, упало на расстоянии L от места броска. Определите время полета тела.

Решение 1. Выберем оси координат X и Y так, как показано на рисунке 1, и запишем векторное уравнение (2) в проекциях на эти оси:

                                            (4)

Рис. 1.

Пусть τ — искомое время полета. Из условия задачи следует, что при t = τ тело имеет координаты x = L и у = 0. Уравнения (4), записанные для момента падения тела, дают систему из двух уравнений с двумя неизвестными

                                         (5)

Отсюда, исключив υ₀, находим

Мы решили задачу стандартным методом, который можно назвать «проектированием на оси». С его помощью векторное уравнение сводится к системе скалярных, которая затем решается обычным образом. Именно так абитуриенты обычно и решают подобные задачи, однако при ответе даже несложные вопросы зачастую ставят их в тупик. Например, такие:

1) Какая разница между системами уравнений (4) и (5)?

2) Почему из трех уравнений (1) — (3), описывающих равноускоренное движение, для проектирования выбрано второе?

3) Почему именно так направлены оси координат?

Упражнение 3. Прежде чем читать ответы, подумайте, как бы вы ответили на эти вопросы.

Вы, конечно же, решали задачи с числовыми данными и знаете, что обычно требуется сначала получить буквенный ответ, или, как принято говорить, ответ в общем виде, а потом подставить в него числа. Понятно, что в буквенном ответе содержится несоизмеримо больше информации, чем в числовом. Так вот, система (4) находится примерно в таком же отношении к системе (5), как и буквенный ответ к числовому. Так, если первая система верна всегда, т. е. из нее можно найти координаты тела в любой момент времени, то вторая верна только для момента падения тела.

По поводу второго вопроса заметим, что три изменяющиеся со временем величины и t в уравнения (1) — (3) входят парами. В нашей задаче известна дальность (), а найти нужно время (t) поэтому мы и выбрали уравнение с парой , t, т. е. второе.

Упражнение 4. Как нужно переделать условие задачи, чтобы она решалась с помощью уравнений (1) или (3)?

Заметим, что эти соображения легко переносятся на задачи из любого раздела физики. Ведь все встречающиеся в задаче величины можно разбить на три группы: известные величины; неизвестные величины, которые необходимо найти; неизвестные величины, которые не требуется находить. Ясно, что если в формулы не входят первые два типа, то задачу не решить, а вот от третьих желательно по возможности избавиться.

Что касается третьего вопроса, то вы, наверное, посчитаете его глупым и скажете, что, конечно же, именно эти оси координат самые удобные. Вообще в такой задаче мысль направить оси куда-нибудь еще выглядит крамольной. И это легко обосновать. Действительно, естественно считать метод удобнее, если он позволяет получить ответ при меньшем количестве вычислений. В этом смысле наибольшие неприятности в уравнении (2) сулит член — из-за него уравнения получаются квадратными. Если мы не хотим решать два квадратных уравнения, одну ось нужно направить горизонтально. Вторую же можно направить куда угодно, но, чтобы не вводить при проектировании новых углов, направим ее вертикально. Кроме того, дальность полета и высота, обычно фигурирующие в подобных задачах, являются координатами именно при таком выборе осей. Убедительно, не правда ли? И все-таки…

Решение 2. Направим ось Z перпендикулярно начальной скорости (рис. 2).

Рис. 2

В проекциях на эту ось вместо уравнения (2) получим

При t = τ . Отсюда получаем ответ:

Это решение стало возможным потому, что величина третьего типа (по нашей классификации) – векторная, и от нее можно избавиться удачным выбором оси координат, получив тем самым одно уравнение с одним неизвестным.

Впрочем, можно вообще обойтись без всяких осей…

Решение 3. Формула (2) утверждает, что при равноускоренном движении вектор перемещения тела в любой момент времени равен сумме векторов и (рис. 3).

Рис. 3

Это, кстати, означает, что движение тела, брошенного под углом к горизонту, складывается из равномерного и прямолинейного движения со скоростью и свободного падения без начальной скорости.

«Нарисуем» формулу (2) для момента падения тела τ (рис. 4).

Рис. 4

Из получившегося прямоугольного треугольника легко найдем

и