Баканина Л. Закон сохранения импульса при соударениях // Квант

Баканина Л. Закон сохранения импульса при соударениях // Квант. – 1977. – № 3. – С. 46–51.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Закон сохранения импульса (количества движения) выполняется для замкнутых систем, то есть таких, которые включают в себя все взаимодействующие тела, так что ни на одно из тел системы не действуют внешние силы. Однако при решении многих физических задач оказывается, что импульс может оставаться постоянным и для незамкнутых систем. Правда, в этом случае количество движения сохраняется лишь приближенно. Попытаемся разобраться, в чем тут дело.

Изменение импульса  незамкнутой системы равно суммарному импульсу внешних сил. Обозначим через  среднее значение результирующей внешней силы, действующей на систему в течение промежутка времени Δt. Тогда

Если абсолютная величина этой силы не слишком велика и время, в течение которого действует сила, мало, то произведение  тоже будет малым. В таком случае возникает необходимость оценки, с какой точностью можно считать импульс системы неизменным.

Кроме того, не следует забывать, что импульс — вектор, и, следовательно, можно говорить о сохранении проекции этого вектора на какое-либо направление. Действительно, если система не замкнута, но внешние силы таковы, что сумма проекций всех сил на некоторое направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление остается величиной постоянной. Незамкнутая система в этом направлении аналогична замкнутой.

Кратковременные взаимодействия возникают, например, при взрывах, выстрелах, соударениях. Такого типа задачи мы и обсудим. Постараемся в каждом конкретном случае выяснить, выполняется или не выполняется закон сохранения импульса и от чего это зависит.

Задача 1. Из пушки, соскальзывающей без трения по наклонной плоскости и прошедшей уже путь l, производится выстрел в горизонтальном направлении (рис. 1). При какой скорости снаряда пушка остановится после выстрела? Масса снаряда m много меньше массы пушки M, угол наклона плоскости α.

Перед выстрелом пушка (вместе со снарядом), прошедшая путь l, имеет импульс  , направленный вдоль наклонной плоскости. Модуль этого импульса можно найти из закона сохранения энергии:

и

Сразу после выстрела пушка остановилась, а снаряд полетел в горизонтальном направлении. Таким образом, несмотря на кратковременность взаимодействия пушки и снаряда, импульс этой системы не сохраняется. Почему же?

Во время выстрела резко возрастает сила давления пушки на наклонную плоскость, а значит, возрастает и сила реакции со стороны плоскости, так что импульс этой силы оказывается достаточно большим. Он то и изменяет суммарный импульс пушки и снаряда.

Рис. 1.

Однако в направлении вдоль наклонной плоскости проекция силы реакции равна нулю, а проекция импульса силы тяжести  за малое время выстрела Δt мала и при выстреле не увеличивается. Поэтому можно, с некоторой степенью точности, считать, что в направлении вдоль наклонной плоскости проекция количества движения системы пушка — снаряд сохраняется. Следовательно, проекция суммарного импульса пушки и снаряда до выстрела равна проекции снаряда после выстрела (пушка покоится):

Отсюда модуль скорости снаряда непосредственно после выстрела

При решении этой задачи мы полагали, что в направлении вдоль наклонной плоскости система пушка — снаряд ведет себя как замкнутая система. Однако оценить, с какой степенью точности это справедливо, мы не можем, так как система взаимодействующих тел сложная и нет необходимых данных для такой оценки.

Разберем теперь две задачи с более простым взаимодействием, где такую оценку можно сделать.

Задача 2. В деревянный шар массы M = 1 кг, падающий вниз со скоростью V₀ = 1 м/c, стреляют снизу из ружья и пробивают его насквозь. Какую скорость будет иметь шар сразу после этого? Скорость пули υ₀ = 300 м/с, после вылета из шара υ = 100 м/с, масса пули m = 10 г.

Оценим, с какой точностью можно считать систему шар — пуля замкнутой во время их взаимодействия. Другими словами, выясним, можно ли пренебречь импульсом силы тяжести за это время.

Время взаимодействия , где d — диаметр шара, a υ_ср — средняя скорость пули внутри шара. Диаметр шара можно оценить, зная, что плотность дерева ρ приблизительно равна плотности воды ρ_в = 10³ кг/м³:

и

а

Таким образом, Δt ≈ 5·10^–4 c. Импульс силы тяжести системы за это время (а значит, и изменение суммарного импульса шара и пули)

p = (M + m)·g·Δt ≈ 5·10^–3 Н·с.

Количество движения системы перед взаимодействием

p₀ = m·υ₀ – M·V₀ = 2 Н·с.

Тогда отношение

и, следовательно, с точностью до 0,2% можно считать, что во время взаимодействия импульс системы не изменяется.

Запишем закон сохранения для проекции импульса на ось, направленную вертикально вверх:

или

m·υ₀ – M·V₀ = m·υ+ M·V_y.

Отсюда проекция скорости шара после взаимодействия

то есть шар начнет двигаться вверх со скоростью 1 м/сек.

Задача 3. Шарик бросают вертикально вверх со скоростью υ₀ = 1 м/с. Когда он достиг верхней точки своего подъема, бросают еще такой  же шарик  с начальной скоростью 2υ₀. Определить скорости шариков после столкновения, если столкновение можно считать абсолютно упругим.

Аналогично предыдущей задаче прежде всего оценим, с какой степенью точности систему двух шариков во время соударения можно считать замкнутой. Для этого найдем импульс системы до удара, импульс силы тяжести за время удара и сравним их между собой.

Пусть шарики столкнулись на высоте h через время t после начала движения второго шарика (рис. 2). Тогда для первого шарика

где  — максимальная высота подъема. Для второго шарика

Рис. 2.

Отсюда , и скорости обоих шариков непосредственно перед столкновением равны

причем первый шарик движется вниз, а второй — вверх.

Итак, количество движения системы до взаимодействия

p₀ = m·υ₂ – m·υ₁ = 1,5m·υ₀.

Теперь попытаемся оценить время взаимодействия и импульс силы тяжести за это время. Для этого мы должны представить себе, как происходит процесс соударения. Рассмотрим вначале соударение торцами двух одинаковых стержней. При ударе в торце возникает упругая деформация, которая распространяется вдоль стержня, то есть в стержне возникает звуковая волна. Дойдя до противоположного конца стержня, волна отражается и возвращается обратно. Можно сказать, что на этом процесс соударения заканчивается, и время взаимодействия стержней равно времени прохождения звуковой волны вдоль стержня и обратно. На самом деле картина взаимодействия гораздо сложнее, а в случае шариков, где возникающая упругая волна не плоская, — тем более. Однако для оценки и здесь будем считать, что с точностью до порядка величины время соударения равно времени распространения звуковой волны внутри шарика: . Скорость звука в твердых телах порядка нескольких километров в секунду. Если диаметр шарика порядка  сантиметра, то Δt ~ 10^–5 c, и импульс силы тяжести  по абсолютной величине во много раз меньше импульса шариков до взаимодействия:

Таким образом, и в этом случае мы можем считать систему соударяющихся шариков замкнутой. (Конечно, дальнейшее движение шариков существенно зависит от силы тяжести.) Так как удар шариков абсолютно упругий, воспользуемся законами сохранения механической энергии и проекции импульса на ось, направленную вертикально вверх:

Подставив сюда соответствующие значения для υ₁ и υ₂:

найдем

— при упругом ударе шарики равных масс обмениваются скоростями.

Не следует, однако, думать, что всегда при соударениях можно пренебречь действием внешних сил и считать систему замкнутой. Для примера рассмотрим такую задачу.