Асламазов Л. Закон сохранения импульса. Реактивная сила // Квант

Асламазов Л. Закон сохранения импульса. Реактивная сила // Квант. — 1979. — № 10. — С. 49–53.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Одна из возможных формулировок второго закона Ньютона утверждает, что изменение импульса (количества движения) механической системы равно импульсу внешних сил:

                                          (1)

где  — полный импульс системы,  — векторная сумма внешних сил, действующих на систему.

Для замкнутой (изолированной) системы  и, следовательно,

                                                   (2)

— суммарный импульс системы есть величина постоянная. Это — закон сохранения импульса. Он позволяет найти конечные скорости взаимодействующих тел, образующих изолированную систему, не вдаваясь в детали взаимодействия.

Следует помнить, что уравнение (2) — векторное, и ответ может существенно зависеть от направления начальных скоростей тел.

Задача 1. По гладкой горизонтальной поверхности движется тележка массой M со скоростью  (рис. 1). В нее стреляют из ружья, причем пуля массой m, летящая со скоростью , застревает в тележке. Какой станет скорость тележки после попадания в нее пули в случае: а) когда скорость пули направлена горизонтально, так же как скорость тележки, б) когда скорость пули направлена вертикально вниз?

а

б

Рис. 1

Воспользуемся законом сохранения импульса в проекции на направление первоначального движения тележки.

В случае а) получим:

откуда конечная скорость тележки

Как видно, после попадания пули скорость тележки увеличилась.

В случае б) начальный импульс пули не дает проекции на горизонтальное направление, следовательно,

Отсюда

— конечная скорость тележки уменьшилась.

Векторный характер закона сохранения импульса в ряде случаев приводит к неожиданным результатам.

Задача 2. Две одинаковые лодки, в которых находятся два одинаковых спортсмена, движутся по инерции (почти без трения) с одинаковыми скоростями параллельно друг другу пи поверхности озера (рис. 2). Начинает идти дождь. Спортсмен, сидящий в первой лодке, вычерпывает воду из лодки и выливает ее в сторону, а спортсмен во второй лодке спит. Какая из лодок быстрее пройдет одно и то же расстояние? В направлении, перпендикулярном к килю, лодки двигаться не могут.

Рис. 2

Как следует из решения задачи 1, при попадании в лодку воды массой m, начальная скорость которой направлена вертикально (дождь!), скорость лодки уменьшается и становится равной по модулю

где M — масса лодки, υ — модуль ее начальной скорости. Отсюда видно, что изменение скорости лодки

тем меньше, чем больше отношение M/m. Поскольку масса дождя, попавшего в лодки, одна и та же, уменьшение скорости будет большим у той лодки, из которой спортсмен вычерпывает воду. Заметим также, что при выбросе воды в сторону скорость лодки не меняется, так как киль не дает ей двигаться в перпендикулярном направлении.

Таким образом, вторая лодка, в которой спортсмен спит, быстрее пройдет заданное расстояние и первой окажется у финиша.

Если система незамкнутая, изменение ее импульса всегда связано с действием внешних сил.

Задача 3. Пучок частиц, имеющих скорость  и массу m, падает на пластину площадью S; при этом он частично поглощается, а частично упруго отражается (рис. 3). Какая сила действует на пластину, если концентрация частиц в пучке равна n, а доля поглощенных частиц α? Рассмотреть также случай, когда пластина сама движется со скоростью : а) навстречу пучку, б) в том же направлении, что и налетающие частицы.

Рис. 3.

Вначале рассмотрим случай неподвижной пластины. Каждая частица, поглощаемая пластиной, передает ей импульс . За время Δt до пластины долетают те частицы, которые находятся в объеме  (υ — модуль скорости частиц), то есть

 частиц.

Из них поглощается

 частиц.

и, следовательно, пластине передается импульс

В соответствии с формулой (1) на пластину действует сила , модуль которой равен

При упругом отражении частицы модуль ее скорости, а значит, и модуль импульса частицы не меняются, однако направление вектора импульса меняется на противоположное. Поэтому изменение импульса частицы

Число частиц, отраженных от пластины за время Δt, равно

Следовательно, при отражении частиц пластине передается импульс

что приводит к появлению силы , действующей на пластину. Ее модуль

Полная сила, действующая на пластину, равна по модулю

                                (3)

Для того чтобы найти силу, действующую на движущуюся пластину, перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью . В этой системе скорость частиц увеличивается при движении пластины навстречу пучку:  и уменьшается при движении пластины в обратном направлении:  (здесь υ, u, υ₁ и υ₂ — модули соответствующих скоростей). В остальном все остается таким же, как в случае неподвижной пластины. Следовательно, сила, действующая на пластину, находится по формуле (3), в которой следует υ заменить на υ₁ или υ₂:

В первом случае сила возрастает, во втором—уменьшается.

Особый интерес представляет случай возникновения так называемой реактивной силы , когда из системы с некоторой скоростью  выбрасывается часть Δm ее массы. В соответствии с формулой (2)

Величину , равную массе вещества, выбрасываемого за единицу времени, называют обычно расходом вещества.

Задача 4. В воздушном шарике, удерживаемом нитью, в том месте, где крепится нить, появилось отверстие сечением S (рис. 4). Как изменилось натяжение нити, если скорость истечения газа из шарика равна υ? Плотность газа ρ.

Рис. 4.

Изменение  натяжения нити равно по модулю реактивной силе, возникающей при вытекании газа из шарика (изменением выталкивающей силы и веса шарика в начальный момент, пока изменение объема шарика мало, можно пренебречь). За время Δt вытекает объем газа , его масса . Следовательно, расход газа   и реактивная сила