Асламазов Л. Напряженность, напряжение, потенциал // Квант

Задача 3. Две плоскости расположены параллельно друг другу на расстоянии d и заряжены с поверхностной плотностью заряда σ₁ и σ₂ соответственно. Нарисовать графики зависимости напряженности поля и потенциала от координаты x (ось ОХ перпендикулярна пластинам). Рассмотреть случаи одноименных (рис. 6, а) и разноименных (рис. 7, а) зарядов на пластинах.

Рис. 6                                                       Рис. 7

Каждая плоскость создает по обе стороны от себя однородное электрическое поле, напряженность которого

Воспользовавшись принципом суперпозиции, для случая одноименных зарядов приходим к графику, показанному на рисунке 6, б, а для разноименных – к графику на рисунке 7, б. Скачки напряженности опять соответствуют общему правилу:

Соответствующие графики для потенциалов показаны на рисунках 6, в и 7, в. На отдельных участках зависимость потенциала от координаты – линейная, так как напряженность поля постоянна. Изломы происходят в тех местах, где напряженность поля испытывает скачок.

Заметим, что в данной задаче потенциал не стремится к нулю при . Это, очевидно, связано с тем, что плоскость бесконечна. В действительности размеры реальных пластин всегда ограничены; это приводит к тому, что потенциал падает с увеличением расстояния от пластин.

Задача 4. Две одинаковые параллельные пластины имеют заряды +q и –q. Как меняется разность потенциалов U между пластинами при увеличении расстояния d между ними? Нарисуйте график зависимости U от d.

Пока расстояние между пластинами значительно меньше их размеров, такую систему можно считать плоским  конденсатором. Тогда  – напряжение линейно растет с расстоянием (начальный участок на рисунке 8).

Рис. 8

Это соответствует тому, что напряженность поля . Как только расстояние между пластинами становится сравнимым с размерами пластин, электрическое поле появляется и вне пространства между пластинами. Тогда становятся существенными так называемые краевые эффекты, и зависимость потенциала от расстояния – довольно сложная. Однако качественно ясно, что, вследствие ослабления поля в области между пластинами, напряжение будет расти медленнее, чем по линейному закону (средний участок на рисунке 8). При дальнейшем увеличении расстояния между пластинами оно станет много больше их размеров. Тогда каждую пластину уже можно считать изолированным телом, и ее потенциал где C₀ – емкость уединенной пластины. Таким образом, при очень больших расстояниях разность потенциалов перестает зависеть от расстояния между пластинами (график зависимости U от d. на рисунке 8 имеет горизонтальную асимптоту).

Краевые эффекты часто оказываются существенными при решении электростатических задач, связанных с законом сохранения энергии, рассмотрим, например, такой вариант ускорителя электронов.

Задача 5. В пластинах плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U сделано сквозное отверстие. Конденсатор помещен в постоянное магнитное поле, направленное перпендикулярно электрическому полю в конденсаторе (рис. 9). Электрон влетает в пространство между пластинами конденсатора, ускоряется, приобретая энергию e·U вылетает через отверстие и. двигаясь в магнитном поле по окружности, возвращается в конденсатор. Затем он снова ускоряется, движется по окружности большего радиуса, опять входит в конденсатор и т. д. На первый взгляд кажется, что таким образом можно разогнать электрон до больших энергий, то есть создать ускоритель. Так ли это?

Рис. 9

Оказывается, такой ускоритель работать не будет – не учтен краевой эффект. Вне конденсатора всегда существует слабое электрическое поле, которое тормозит электрон при его движении по окружности. Отрицательная работа поля при этом в точности равна положительной работе при разгоне электрона в конденсаторе: работа в электростатическом поле не зависит от формы траектории. Магнитное поле работы не совершает (сила Лоренца перпендикулярна скорости движения электрона). Поэтому полная работа всех сил, действующих на электрон, при его возвращении в начальную точку будет равна нулю, и кинетическая энергия электрона не изменится. Ускоритель работать не будет.

Упражнения

1. Может ли существовать электростатическое поле, у которого силовые линии – параллельные прямые, а абсолютная величина напряженности меняется только в направлении, перпендикулярном силовым линиям (рис. 10)?

Рис. 10

2. Две концентрические металлические сферы радиусов R₁ и R₂ имеют заряды Q₁ и Q₂ соответственно. Найдите напряженность и потенциал электрического поля на произвольном расстоянии r от центра сфер. Нарисуйте графики зависимости E от r и φ от r. Рассмотрите случаи одноименных и разноименных зарядов. Как выглядят графики для случая Q₁ = –Q₂ (сферический конденсатор)?

3. Точечный заряд q окружен металлической сферой радиуса R с зарядом Q. Найдите напряженность поля и потенциал на произвольном расстоянии r от заряда q если он находится в центре сферы; нарисуйте графики зависимости E от r и φ от r. Как изменятся графики, если заряд сместить из центра сферы? Решите ту же задачу для случая, когда металлическая сфера заземлена.

4. Электрон влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора так, что его скорость составляет острый угол с направлением силовых линий. Тогда при движении в конденсаторе он будет тормозиться и вылетит с меньшей скоростью; его кинетическая энергии уменьшится. Увеличится ли при этом энергия конденсатора?

5. Два одинаковых конденсатора емкостью C каждый, один из которых заряжен до напряжения U а второй – не заряжен, соединяют параллельно. Найти энергию системы до и после соединения конденсаторов. Почему эти энергии не равны?

6. Точечный заряд q находится вне незаряженной металлической сферы радиуса R на расстоянии d от ее центра. Найти потенциал сферы.

Ответы.

1. Не может, иначе работа по перемещению заряда по замкнутому контуру была бы отлична от нуля.

2. При R₁ > r > 0 напряженность E = 0 и ; при R₂ > r > R    и ; при r > R₂    и  (рис. 11).

а

б

Рис. 11

3. При R > r > 0 напряженность  и ; при r > R  и  (рис. 12).

а

б

Рис. 12

4. Энергия конденсатора не изменяется; изменяется энергия взаимодействия электрона и конденсатора (работа по перемещению электрона в бесконечность из начальной и конечной точек не одна и та же).

5.  ровно половина энергии перешло в тепло (независимо от сопротивления подводящих проводов).

6.  (потенциал сферы такой же, как в ее центре, а там суммарный потенциал поля индуцированных на сфере зарядов равен нулю).